Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

Sejam X e Y v.a.’s contínuas com densidade conjunta:

f x , y = 1 4 . c . x ² . y ² . e - x 3 - y 3   ,     p a r a   x ≥ 0 ,   y ≥ 0

  1. Encontre a constante " c " que faz desta expressão uma densidade.
  2. Encontre a densidade marginal de X e de Y .
  3. Encontre a densidade condicional de Y dado X = x .

Passo 1

Pra que seja uma função de densidade, a integral da função tem que ser 1 .

∫ ∫ 1 4 . c . x ² . y ² . e - x 3 - y 3 d x d y

∫ 0 + ∞ 1 4 . c . y ² . e - y 3   d y ∫ 0 + ∞ x ² . e - x 3   d x

Passo 2

Vamos usar uma substituição simples aí pra integrar isso... começando pelo x :

u = - x 3

d u = - 3 x ²   d x

x ²   d x = - d u 3

Assim:

∫     x ² . e - x 3   d x = ∫     - 1 3 . e u d u

∫     x ² . e - x 3   d x = - 1 3 . e u

∫     x ² . e - x 3   d x = - 1 3 . e - x 3

E com os limites de integração:

∫ 0 + ∞   x 2 . e - x 3   d x = - 1 3 . e - x 3 0 + ∞

∫ 0 + ∞   x 2 . e - x 3   d x = 0 - - 1 3 = 1 3

Passo 3

Note que a integral em y fica assim:

∫ 0 + ∞ 1 4 . c . y ² . e - y 3   d y = 1 4 . c ∫ 0 + ∞ y ² . e - y 3   d y

Só que a parte de dentro é igualzinho a integral que calculamos para x (trocando x por y ). Então:

∫ 0 + ∞ 1 4 . c . y ² . e - y 3   d y = 1 4 . c . 1 3 = c 12

Assim, como a gente viu, o produto das duas tem que ser igual a 1 .

c 12 . 1 3 = 1

c = 36

f x , y = 9 . x ² . y ² . e - x 3 - y 3

Passo 4

(b)

Densidade marginal de X é só resolver a integral abaixo.

f x x = ∫ 0 + ∞ 9 x ² y ² . e - x 3 - y 3   d y

Veja que estou integrando em y , pra fazer a marginal de x .

Vamos usar uma substituição simples aí pra integrar isso...

            u = - x 3 - y 3

d u = - 3 y 2 d y

Vou substituir isso dentro da integral.

Quando y = 0 → u = - x 3 e quando y = + ∞ → u = - ∞ .

f x x = ∫ - x ³ - ∞ - 3 x ² . e u   d u

    = - 3 x ² . e u - x ³ - ∞

                = - 3 x ² e ∞ - - 3 x ² . e - x 3

Como 2 x e ∞ = 0 :

= 3 x ² . e - x 3    

Passo 5

Pra marginal de Y é a mesma ideia.

f y y = ∫ 0 + ∞ 9 x ² y ² . e - x 3 - y 3   d x

Vamos usar uma substituição simples aí de novo...

            u = - x 3 - y 3

d u = - 3 x ²   d x

Quando x = 0 → u = - y 3 e quando x = + ∞ → u = - ∞ .

f y y = ∫ - y ³ - ∞ - 3 y ² . e u   d u

    = - 3 y ² . e u - y ³ - ∞

                  = - 3 y ² e ∞ - - 3 y ² . e - y 3

Como 2 x e ∞ = 0 :

= 3 y ² . e - y 3    

Passo 6

(c)

Temos que encontrar agora a densidade condicional de Y dado X = x .

f Y X = x = f x , y f x

Já temos esses dois valores, só dividir.

= 9 . x ² . y ² . e - x 3 - y 3 3 . x ² . e - x 3

= 3 . y ² . e - y 3

Resposta

a   c = 9

b   f x = 3 x ² . e - x 3     e       f y = 3 y ² . e - y 3

c   3 y 2 e - y 3

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