Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

Suponha p e q dois valores de probabilidade conhecidos. Assumindo duas v.a.’s discretas com função de probabilidade conjunta f x , y = c . p x . q y , para x ∈ { 2,3 , … } , e y ∈ { 0,1 , 2 } .

Pede-se:

  1. Calcular o valor da constante “ c " e apresentar a função de probabilidade conjunta em termos de p e q .
  2. A função de probabilidade condicional de Y dado X = x .

Passo 1

a)

Sabemos que para uma função ser considerada função de densidade de probabilidade, a integral dela de menos a mais infinito tem que dar um. Nesse caso, como estamos trabalhando com v.a.’s discretas, nossa integral é simplesmente um somatório! Então:

∑ x = 2 ∞ ∑ y = 0 2 f ( x , y ) = ∑ x = 2 ∞ ∑ y = 0 2 c p x q y = 1

Esses limites dos somatórios são dados no próprio enunciado, quando é dito pra gente que x pode ir de 2 a infinito, e y pode ir de 0 a 2 . Abrindo o segundo somatório e separando os termos, temos:

∑ x = 2 ∞ ∑ y = 0 2 c p x q y = c ∑ x = 2 ∞ p x q 0 + q 1 + q 2 = c ∑ x = 2 ∞ p x ( 1 + q + q 2 )

Mas como se livrar desse outro somatório? Podemos lembrar do que é uma série geométrica e como ela pode ser escrita:

∑ x = 0 ∞ a r x = a 1 - r

Então vamos tentar escrever nosso somatório nesse formato! A única coisa que falta é ele começar em 0 , ao invés de 2 . Para isso, basta mudarmos o índice e subtrairmos o que seria o termo de índice 0 e índice 1 , para mantermos a igualdade. Não sacou? Se liga:

∑ x = 2 ∞ p x = ∑ x = 0 ∞ p x - p 0 - p 1

Dessa forma, nós “descontamos” os termos que foram adicionados quando mudamos o índice e tudo permanece como antes! Substituir isso aí na expressão com os somatórios da função de densidade:

c ∑ x = 2 ∞ p x 1 + q + q 2 = c ∑ x = 0 ∞ p x - p 0 - p 1 1 + q + q 2 = ∑ x = 0 ∞ p x - 1 - p 1 + q + q 2

E lembrando do bizu da série geométrica, podemos substituir:

∑ x = 0 ∞ p x = 1 1 - p

É como se nosso a valesse 1 nesse caso. Voltando a expressão da função de densidade, substituindo isso aí no lugar do somatório que faltava:

c ∑ x = 0 ∞ p x - p 0 - p 1 1 + q + q 2 = c 1 1 - p - 1 - p ( 1 + q + q 2 )

Agora chegamos em algo mais bonitinho, concorda? Vamos igualar isso aí a 1 , já que é isso que precisamos para a função ser considerada de densidade:

c 1 1 - p - 1 - p 1 + q + q 2 = 1

Agora isolamos o c para descobrir quanto ele vale em função de p e q :

c = 1 1 + q + q 2 1 1 - p - 1 - p

Rearrumando:

c = 1 1 + q 1 + q 1 - 1 - p - p 1 - p 1 - p

c = 1 1 + q 1 + q 1 - 1 + p - p + p 1 - p

c = 1 1 + q 1 + q p 1 - p

E enfim achamos o valor que c precisa ter para f ( x , y ) ser função de densidade! =)

Passo 2

b)

Agora para a função de probabilidade condicional de Y dado X = x , temos que lembrar a fórmula:

f y x = f ( x , y ) f x ( x )

Onde f x ( x ) é a função de distribuição marginal de X , vamos calculá-la por:

f x x = ∑ y = 0 2 c . p x . q y = c p x q 0 + q 1 + q 2 = c p x 1 + q + q 2 = c p x 1 + q 1 + q

Substituindo isso aí e a função de densidade f x , y na função de probabilidade condicional:

f y x = c . p x . q y c p x 1 + q 1 + q

f y x = q y 1 + q 1 + q

E essa aí é nossa função de probabilidade condicional pedida!

Resposta

a)

c = 1 1 + q 1 + q p 1 - p

b)

f y x = q y 1 + q 1 + q

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