Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

O valor da variável X   é um número no intervalo 0,1 escolhido segundo uma densidade uniforme. De maneira similar, o valor da variável Y   é um número no intervalo 0,1 , escolhido segundo uma densidade uniforme. As variáveis X   e   Y são independentes. Um aluno toma os valores de X   e   Y obtidos em um experimento e desenha um triângulo retângulo, onde X   e   Y são os catetos. Qual a probabilidade que a hipotenusa desse triângulo seja menor que 1   ?

Passo 1

Fala pessoal!!! Tudo certinho? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Essa é bem bacana em!!

Do enunciado temos que:

  • X   ∼ U n i f 0,1
  • Y   ∼ U n i f 0,1
  • X   e   Y são independentes

Queremos a probabilidade que a hipotenusa desse triângulo, cujos catetos são X   e   Y , seja menor que 1   . Ou seja, queremos saber P X 2   +   Y 2   < 1

Passo 2

Como vimos no passo queremos calcular P X 2   +   Y 2   < 1 , mas como vamos fazer isso? Será que temos que descobrir a densidade de X 2   +   Y 2 ? Usar alguma propriedade de esperança condicional? Bem, vamos fazer essa questão de forma bem simples usando o domínio das nossas variáveis X   e   Y .

Colocando no plano cartesiano, temos que todos os possíveis valores para X   e   Y se encontram no quadrado unitário. E por X   e   Y serem uniformes e INDEPENDENTES, o par X , Y será uniforme no quadrado unitário.

Os pontos de interesse, que satisfazem X 2   +   Y 2   < 1 se encontram no quarto de circunferência.

Passo 3

Nós encontramos, no passo anterior, o conjunto dos pontos que satisfazem X 2   +   Y 2   < 1 . e vimos que é um quarto de um círculo. Temos que a probabilidade desse conjunto será proporcional a sua área. Será a área total do quadrado dividida pela área do quarto de circulo, uma vez que X , Y é uniforme no quadrado unitário.

A quadrado   =   1

A qua rto   circulo   =   π 4

Então P X 2   +   Y 2   < 1 = A quarto   circulo A quadrado

= π 4

Muitas vezes não precisamos trabalhar com a distribuição diretamente. Olhar nosso domínio pode ajudar muito.

Resposta

= π 4

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