Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

Seja ( X , Y ) um vetor bivariado de v.a.’s contínuas com a seguinte função:

f x , y = k . y . e - y ² 3 x   c o m   y ≥ 0   e   0 ≤ x ≤ 1

Calcule o valor da constante k para que f ( x , y ) seja uma função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y .

Passo 1

Para isso aí ser função de densidade, temos que garantir que a integral dupla da função em todo o seu domínio dê 1 , e temos que garantir que a função seja sempre maior ou igual a zero também.

Para f ( x , y ) ≥ 0 , basta termos k ≥ 0.

Agora vamos partir pro cálculo da integral.

Passo 2

∫ 0 ∞ ∫ 0 1 k . y . e - y ² 3 x d x d y = 1

Vamos resolver a integral separadamente. Primeiro a que está em relação a x :

∫ 0 1 k . y . e - y ² 3 x d x = ∫ 0 1 k . y . e - y 2 3 x - 1 2   d x = 2 k y e - y ² x 1 / 2 3 0 1 = 2 k y e - y ² 3

Agora resolvemos a integral de fora:

∫ 0 ∞ 2 k y e - y ² 3 d y

Fazendo uma substituição simples u = - y ² , vamos ter d u = - 2 y d y → y d y = - 1 2 d u , substituindo esses valores na integral...

∫ 2 k e u 3 - 1 2 d u = ∫ - k e u 3 d u = - k e u 3 → r e s u b s t i t u i n d o → - k e - y ² 3 0 ∞ = 0 - - k 3 = k 3

Resolvemos nossa integral! E como vimos, ela tem que ser igual a 1 . Então...

k 3 = 1

k = 3

Resposta

k = 3

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