Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

Ver Teoria

Enunciado

Duas variáveis aleatórias X   e   Y independentes possuem as respectivas funções densidades de probabilidades marginais:

f X x = 1 / 3 e - x / 3 ,   x ≥ 0 ;

0, caso contrário;

f Y y = 1 / 2 e - y / 2 ,   y ≥ 0 ;

0, caso contrário.

O valor de P X > Y é:

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade!!!!

Dessa vez queremos calcular P X > Y , onde

f X x = 1 / 3 e - x / 3 ,   x ≥ 0 ;

f Y y = 1 / 2 e - y / 2 ,   y ≥ 0 ;

Para podermos calcular essa probabilidade, vamos relembrar uma propriedade bem útil!!!

Passo 2

Queremos calcular P X > Y , e temos as marginais de X   e   Y .

Como vamos calcular essa probabilidade? Será que podemos usar a distribuição conjunta para obter essa probabilidade?

Temos sim. Podemos usar a lei da probabilidade total para o caso contínuo. Lembram-se dela? Ela é bem parecida com a do caso discreto. A lei diz o seguinte:

P A   =   ∫ - ∞ ∞ P A X   =   x f x x d x

Bem parecida com a do caso discreto, né?.

No nosso caso, o evento A   é o evento X > Y   .

Passo 3

Pela lei da probabilidade total discutida no passo anterior, temos que:

P X > Y   =   ∫ - ∞ ∞ P X > y Y   =   y f y y d y

Mas como X   e   Y são independentes,

P X > y Y   =   y   =   P X > y

(usando a definição de probabilidade)

=   ∫ y ∞ f x x d x

Então

(juntando as equações acima)

P X > Y   =   ∫ 0 ∞ ∫ y ∞ f x x f y y d x d y

Passo 4

Nos passos anteriores vimos que

P X > Y   =   ∫ 0 ∞ ∫ y ∞ f x x f y y d x d y

(substituindo as densidades conhecidas)

=   ∫ 0 ∞ ∫ y ∞ 1 3 ⋅ 1 2 e - x 3 e - y 2 d x d y

(isolando tudo que depende de x para podermos integrar )

=   ∫ 0 ∞ 1 3 ⋅ 1 2 e - y 2   ∫ y ∞ e - x 3 d x d y

(resolvendo a integral em x)

=   ∫ 0 ∞ 1 3 ⋅ 1 2 e - y 2   - 3 e - x 3 ​ x = y x = ∞ d y

)

=   ∫ 0 ∞ 1 3 ⋅ 1 2 e - y 2   3 e - y 3 d y

(simplificando)

=   ∫ 0 ∞ 1 2 e - 5 y 6   d y

(resolvendo a integral em y)

= 1 2 - 6 5 e - 5 y 6 ​ y = 0 y = ∞

= 3 5

Resposta

3 5

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que duas variáveis aleatórias (X,Y) sejam uniformemente distribuídas num círculo de raio a. Então, a função de densidade de probabilidade conjunta é: f x , y = 1 π a 2 ,x 2 + y 2 ≤ a 2 f ( x ,
A distribuição de probabilidade conjunta é. Mostre que a correlação entre X e Y é zero, porém X e Y não são independentes.
Os pesos de tijolos de barro usadas em construção são distribuídas normalmente, com uma média de três libras e o desvio padrão de 0.25 libras. Suponha que os pesos dos tijolos sejam independentes e qu
Suponha que as variáveis aleatórias, existem uma função densidade de probabilidade conjunta. Determine o seguinte:
Suponha que é correlação entre X e Y seja P. Para as constantes a, b, c e d qual é a correlação entre as variáveis aleatórias