Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

f x , y = 1 k 1 4 x 2 3 y > 0   ,       q u a l q u e r   q u e   s e j a   x = 3,4 , … ,   s e ,   s o m e n t e   s e   k > 0

                                                                                                              q u a l q u e r   q u e   s e j a   y = 3,4 , … ,   s e ,   s o m e n t e   s e   k > 0

  1. Determine a constante " k " para que f x , y seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y .
  2. Encontre a densidade marginal de X e de Y .
  3. Encontre a densidade condicional de X dado Y = y .
  4. X e Y são independentes? Por quê? Justifique.

Passo 1

(a)

Pra calcular a constante é só integrar e igualar a 1 que é a condição para ser uma função de probabilidade.

∫ 3 + ∞ ∫ 3 + ∞ 1 k 1 4 x 2 3 y   d y d x

Mas integrar isso é muito difícil, então vamos usar somatórios no lugar das integrais e usar aquela ideia da série geométrica.

1 k ∑ i = 3 ∞ 1 4 x ∑ i = 3 ∞ 2 3 y

A gente sabe que:

∑ i = 0 ∞ a k = 1 + a + a ² + … = 1 1 - a

∑ i = 1 ∞ a k = a + a 2 + a 3 + … = a 1 + a + a 2 + … = a 1 - a

∑ i = 2 ∞ a k = a ² + a ³ + a 4 + … = a 2 1 + a + a 2 + … = a 2 1 - a

∑ i = 3 ∞ a k = a ³ + a 4 + a 5 + … = a 3 1 + a + a 2 + … = a 3 1 - a

Passo 2

Aplicando isso que a gente viu no caso:

∑ i = 3 ∞ 1 4 x = 1 4 3 1 - 1 4 = 1 4 3 3 4 = 1 64 × 4 3 = 1 48

∑ i = 3 ∞ 2 3 y = 2 3 3 1 - 2 3 = 8 27 × 3 = 8 9

Juntando tudo teremos:

1 k × 1 48 × 8 9 = 1 k × 1 54 = 1 54 k

E isso tem que ser igual a 1 :

k = 1 54

Note que, assim, teremos

1 k = 54

Passo 3

(b)

Para a densidade marginal de Y :

f y = 54 . 2 3 y ∑ i = 3 ∞ 1 4 x

Substituindo o valor do somatório que nós já calculamos antes.

f y = 54 . 2 3 y . 1 48

f y = 9 8 . 2 3 y

Passo 4

Já para a densidade de X :

f x = 54 . 1 4 x ∑ i = 3 ∞ 2 3 y

= 54 . 1 4 x . 8 9

f x = 48 . 1 4 x

Passo 5

(c)

A prob. condicional que a gente quer é:

f x y = f x , y f y

A gente já tem os dois dados que a gente precisa:

f x , y = 54 1 4 x 2 3 y

E:

f y = 9 8 . 2 3 y

Passo 6

Agora só aplicar:

f X Y = y = 54 1 4 x 2 3 y 9 8   . 2 3 y

Cortando ali o que pode:

f X Y = y = 54 . 8 9 1 4 x

f X Y = y = 48 . 1 4 x

Passo 7

(d)

Pras variáveis serem independentes elas têm que verificar a seguinte condição:

f x , y = f x . f y

f x . f y = 48 . 1 4 x × 9 8 . 2 3 y

f x . f y = 54 . 1 4 x . 2 3 y

que é igual a função f ( x , y ) inicialmente dada. Isso significa que as variáveis são independentes.

Resposta

a   k = 1 54

b   f y = 9 8 . 2 3 y e     f x = 48 . 1 4 x

c f X Y = y =   48 . 1 4 x

d   são independentes

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