Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

A função de densidade de probabilidade conjunta para duas variáveis aleatórias X , Y   para uma constante c   é dada por:

A densidade marginal de X   para 0 <   x <   2   é :    

Passo 1

Fala pessoal. Tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade.

Para essa questão precisamos calcular a densidade marginal de X   . A marginal de X   é dada por:

f X x   =   ∫ 0 1 c y 2 d y

Ou seja, fazemos a “soma” da distribuição conjunta em todos os valores de y   .

Vamos calcular essa densidade marginal.

f X x   =   ∫ 0 1 c y 2 d y

∫ 0 1 c y 2 d y   =   c y 3 3 ​ y = 0 y = 1

  c y 3 3 ​ y = 0 y = 1   =   c 3

Passo 2

Agora que temos a distribuição marginal de X   em função da constante c   , precisamos calcular essa constante. Como a marginal de X   é uma função de densidade sua integral em todo o domínio tem que ser 1   ou seja,

∫ 0 2 f X x d x   =   ∫ 0 2 c 3 d x  

∫ 0 2 c 3 d x     =   c x 3 ​ x = 0 x = 2

  c x 3 ​ x = 0 x = 2   =   2 c 3

⇒   2 c 3   =   1  

⇒   c   =   3 2  

Passo 3

Agora que temos o valor da constante c   obtemos a marginal de X  

f X x   =   1 2   ∀   0 < x < 2

Resposta

f X x   =   1 2   ∀   0 < x < 2

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