Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

Admite-se que cada pneu dianteiro de um determinado tipo de veículo deve ter a pressão de 26 psi. Suponha que a pressão real em cada pneu seja uma variável aleatória X para o pneu direito e Y para o pneu esquerdo, com a seguinte função de densidade conjunta:

f x ,   y = 3 380000 x 2 + y 2 ,         20 ≤ x ≤ 30 ,   20 ≤ y ≤ 30 0 ,                                         c a s o   c o n t r a r i o

Pede-se:

a) Qual é a probabilidade de os dois pneus estarem com pressão inferior ao ideal?

b) Determine a média condicional X dado Y = y .

Passo 1

Esse é um exercício bem classicão sobre distribuições bidimensionais. A função densidade de probabilidade depende de duas variáveis: x e y .

No item (a) queremos saber a probabilidade de os dois pneus estarem com pressão inferior a ideal (26 psi). Isso significa que devemos integrar f x ,   y com x e y indo até 26 :

P x < 26     e     y < 26 = ∫ - ∞ 26 ∫ - ∞ 26 f x ,   y   d x   d y

Mas como f x ,   y só é diferente de 0 para x ≥ 20 e y ≥ 20 , o limite inferior das integrais passa a ser 20 :

P x < 26     e     y < 26 = ∫ 20 26 ∫ 20 26 3 380000 x 2 + y 2   d x   d y

Primeiro vamos fazer a integral em x :

P x < 26     e     y < 26 = 3 380000 ∫ 20 26 x 3 3 + y 2 x 20 26   d y

P x < 26     e     y < 26 = 3 380000 ∫ 20 26 17576 3 + 26 y 2 - 8000 3 - 20 y 2   d y

P x < 26     e     y < 26 = 3 38000 ∫ 0 26 3192 + 6 y 2   d y

Passo 2

Agora podemos fazer a integral em y :

P x < 26     e     y < 26 = 3 380000 3192 y + 2 y 3 20 26

P x < 26     e     y < 26 = 3 380000 82992 + 35152 - 63840 - 16000

Portanto,

P x < 26     e     y < 26 = 0,3024

Logo, a probabilidade de os dois pneus estarem com pressão inferior à pressão ideal é de 30,24 % .

Passo 3

Agora vamos ao item (b)! Queremos saber a média condicional X dado que Y = y . Para achar essa média condicional dado que Y = y , basta fazer a integral apenas em x :

E X Y = y ) = ∫ x   f x ,   y   d x

Se fosse a média de X sem considerar o caso condicional, faríamos a integral dupla em x e y . Com isso, temos que

E X Y = y = 3 380000 ∫ 20 30 x   x 2 + y 2   d x

Para fazer essa integral, consideramos y como se fosse uma constante:

E X Y = y = 3 380000 ∫ 20 30 x 3 + x y 2   d x

E X Y = y = 3 380000   x 4 4 + x 2 y 2 2 20 30

Aí é só substituir os limites de integração:

E X Y = y = 3 380000 810000 4 + 900 y 2 2 - 160000 4 - 400 y 2 2

E X Y = y = 3 380000 202500 + 450 y 2 - 40000 - 200 y 2

E X Y = y = 3 380000 162500 + 250 y 2

Simplificando alguns zeros:

E X Y = y = 3 38000 16250 + 25 y 2

Dividindo todo mundo por 25 :

E X Y = y = 3 1520 650 + y 2

Essa é a resposta para o problema!

Resposta

a) P x < 26     e     y < 26 = 0,3024 .

b) E X Y = y = 3 1520 650 + y 2 .

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