Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

Suponha p e q dois valores de probabilidade conhecidos. Assumindo duas v.a.’s discretas com distribuição conjunta f x , y = c . p x . q y , para x ∈ ( 1,2 , … ) , e Y ∈ ( 0,1 ) . Mostre como encontrar:

  1. O valor de c , em função de p e q , para que f seja uma distribuição conjunta. E escreva a função conjunta.
  2. A marginal de X   e de Y e indique qual o nome (modelo) destas distribuições.
  3. Podemos afirmar que X e Y são independentes? Justifique sua resposta.

Passo 1

Para uma função ser de distribuição conjunta deve ser:

  • f x , y ≥ 0
  • ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x , y   d x d y   = 1

Vamos usar essa segunda ideia aí para determinar nossa constante.

Só que como estamos com v.a.’s discretas, não faz sentido integrar, então teremos:

∑ x = 1 ∞ ∑ y = 0 1 c . p x q y = 1

c   ∑ x = 1 ∞ p x   ∑ y = 0 1 q y = 1

Passo 2

Lembra aquele macete que eu passei sobre séries geométricas e como calcular o somatório delas?

Vai ser importante agora;

∑ k = 1 n a k = a 1 - a

Se aplicarmos isso para os dois casos que temos, vamos ficar com:

∑ x = 1 n p x = p 1 - p

Passo 3

Para o outro somatório, fica ainda mais fácil:

∑ y = 0 1 q y = 1 + q

Agora só voltar para a ideia do resultado dos somatórios ser 1 .

c . p 1 - p . ( 1 + q ) = 1

c = 1 - p p ( 1 + q )

Passo 4

(b)

Nossa função conjunta é:

f x , y = 1 - p p ( 1 + q ) . p x . q y

Para calcular as marginais f ( x ) e f y . Vamos fazer assim:

f x = 1 - p p ( 1 + q ) . p x . ∑ y = 0 1 q y

f x = 1 - p p ( 1 + q ) . p x . 1 + q

Cortando as coisas aí...

f x = 1 - p p . p x

Passo 5

Fazendo a mesma ideia para a marginal de Y .

f y = 1 - p p ( 1 + q ) . q y . ∑ x = 1 n p x

f y = 1 - p p ( 1 + q ) . q y . p 1 - p

Cortando as coisas aí...

f y = 1 1 + q . q y

Se você notar direitinho, essas duas funções marginais se assemelham a função de probabilidade da distribuição geométrica.

Passo 6

(c)

Pra fechar com chave de ouro, pra ser independente a gente tem que verificar se a afirmativa abaixo é verdadeira:

f x , y = f x . f y

Verificando:

f x , y = 1 - p p ( 1 + q ) . p x . q y

f x = 1 - p p . p x

f y = 1 1 + q . q y

Vamos ver:

f x . f y = ( 1 - p ) p . p x . 1 1 + q q y

f x . f y = 1 - p p ( 1 + q ) . p x . q y

f x . f y = f ( x , y )

Sucesssoo! As variáveis são independentes! =)

Resposta

a   c = 1 - p p ( 1 + q )

b   f x = 1 - p p . p x     ,       f y = 1 1 + q . q y

c   S ã o   i n d e p e n d e n t e s

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