Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

Dada a seguinte distribuição de probabilidades, calcular média da variável Z   =   T 1   +   T 2 :

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Essa é bem bacana, vamos lá?

Então, queremos calcular E Z

E Z   =   E T 1   +   T 2

=   E T 1   +   E T 2

(Pela linearidade da esperança)

Poxa seria muito bom se soubéssemos quais são as distribuições de T 1   e   T 2 . Mas será que podemos achar?

Passo 2

No passo anterior vimos que:

E Z   =   E T 1   +   T 2

=   E T 1   +   E T 2

E comentamos que seria bom se soubéssemos as distribuições de T 1   e   T 2 . Bem, vamos calcular elas.

f T 1 , T 2 t 1 , t 2   = x 2   -   a 2 e - x t 1   +   t 2   +   a t 2   -   t 1 para   t 1 , t 2   >   0

=   x 2   -   a 2 e - x t 1   +   x t 2   +   a t 2   -   t 1

=   x 2   -   a 2 e - x t 1   -   x t 2   +   a t 2   -   a t 1

=   x 2   -   a 2 e - t 1 x + a   - t 2 x - a

=   x + a x   -   a e - t 1 x + a   - t 2 x - a

=   x + a e - t 1 x + a   x   -   a e - t 2 x - a

Opa, mas pera a e. Isso parece algo familiar. Conseguimos separar a função de densidade conjunta em produto de coisas que só dependem ou de t 1 ou de t 2 . Ou seja T 1   e   T 2 são independentes e suas distribuições são:

f T 1 t 1   =   x + a e - t 1 x + a     com   t 1 > 0 e f T 2 t 2   =   x - a e - t 2 x - a     com   t 2 > 0

Passo 3

Finalmente, calculamos as distribuições de T 1   e   T 2 , agora podemos calcular a esperança de Z   .

Mas pera ae, jovem. Antes de sairmos calculando integrais a tordo e a direito vamos olhar com calma as distribuições de T 1   e   T 2 . Elas não parecem familiares? Mas é claro que parecem, elas são distribuições exponencias com parametros x + a ,   e   X - a   respectivamentes.

Passo 4

Maravilha, agora que sabemos que a distribuições de T 1   e   T 2 são distribuições exponenciais podemos usar o fato que a sua esperança é o inverso do seu parâmetro. I.e

T 1   ∼ exp ⁡ x + a   ⇒   E T 1   =   1 x + a

T 2   ∼ exp ⁡ x - a   ⇒   E T 2   =   1 x - a

Logo, E Z =   E T 1   +   E T 2

= 1 x + a   +   1 x - a

= 2 x x 2 - a 2

Resposta

= 2 x x 2 - a 2

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