Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

a) Suponha que X 1 e X 2 sejam variáveis aleatórias contínuas, prove que E E X 2 X 1 ] = E X 2 = μ 2 .

Observação: podemos dizer que E X 2 X 1 é uma variável aleatória, que é uma função de X 1 .

b) Seja X 1 , X 2 , ..., X n uma sequência de variáveis aleatórias independentes com distribuição N μ ,   σ 2 . Se Y = X 1 + X 2 + … + X n , qual a distribuição de Y e de Y / n ?

Passo 1

Fala pessoal, bora resolver mais uma questão de PROBEST?

Essa é uma questão bem legal com duas perguntas mais teóricas. No item (a) temos a seguinte situação: duas variáveis aleatórias X 1 e X 2 . Queremos achar E E X 2 X 1 ] . Para fazer isso, a primeira coisa que você precisa lembrar é como escrever a função densidade de probabilidade no caso condicional:

f X | Y x ,   y = f x ,   y f Y y

Calma que eu vou explicar com calma o que essa expressão significa! O termo do lado direito representa a distribuição de probabilidade de que X = x dado que Y = y (se trata de uma probabilidade condicional). Essa distribuição condicional será dada pela razão da distribuição conjunta f x ,   y pela distribuição marginal em y . Lembrando que a distribuição marginal é

f Y y = ∫ f x ,   y   d x

Com isso, podemos escrever

f X | Y x ,   y = f x ,   y ∫ f x ,   y   d x

Vamos converter isso para a notação do nosso problema. Basta trocar x por x 2 e y por x 1 :

f X 2 | X 1 x 2 ,   x 1 = f x 2 , x 1 f X 1 x 1 = f x 2 ,   x 1 ∫ f x 2 ,   x 1   d x 2

Passo 2

Agora que já discutimos como escrever a função densidade de probabilidade da distribuição condicional, podemos calcular E X 2 X 1 :

E X 2 X 1 = ∫ x 2   f X 2 | X 1 x 2 ,   x 1   d x 2 = ∫ x 2   f x 2 ,   x 1 ∫ f x 2 ,   x 1   d x 2   d x 2

Vou puxar a integral do denominador para fora:

E X 2 X 1 = 1 ∫ f x 2 ,   x 1   d x 2   ∫ x 2   f x 2 ,   x 1   d x 2

Agora vem uma observação importante, como todas essas integrais são feitas com relação a x 2 , o resultado será uma função de x 1 . Por simplicidade, vou escrever

E X 2 X 1 = g x 1 ,

onde

g x 1 = 1 ∫ f x 2 ,   x 1   d x 2   ∫ x 2   f x 2 ,   x 1   d x 2

Passo 3

Como E X 2 X 1 = g x 1 é uma variável aleatória que depende de x 1 , seu valor esperado será dado por

E E X 2 X 1 = E g X 1 = ∫ g x 1   f X 1 x 1   d x 1

Lembre-se que f X 1 x 1 é a distribuição marginal:

f X 1 x 1 = ∫ f x 2 ,   x 1   d x 2

Observe que

g x 1 = 1 f X 1 x 1   ∫ x 2   f x 2 ,   x 1   d x 2

Agora temos tudo que precisamos para terminar o problema, basta substituir g x 1 na expressão E E X 2 X 1 :

E E X 2 X 1 = ∫ 1 f X 1 x 1   ∫ x 2   f x 2 ,   x 1   d x 2   f X 1 x 1   d x 1

Simplificando os termos f X 1 x 1 :

E E X 2 X 1 = ∫ ∫ x 2   f x 2 ,   x 1   d x 2   d x 1

Observe que esse termo que sobrou é exatamente a definição do valor esperado de X 2 :

E E X 2 X 1 = E X 2 = μ 2

Com isso terminamos o item (a)!

Passo 4

Partiu item (b)?

Agora o problema é um pouco diferente. Temos as variáveis aleatórias X 1 ,   X 2 , ..., X n que segue uma distribuição normal com média μ e variância σ 2 . Queremos saber qual é a distribuição da soma:

Y = X 1 + X 2 + … + X n

Aqui vamos usar um teorema que deve ser conhecido por você (caso você não conheça eu vou te apresentar):

“A soma de variáveis aleatórias normais é uma variável aleatória com distribuição normal”

No caso mais geral possível, se X 1 tem média μ 1 e variância σ 1 2 , se X 2 tem média μ 2 e variância σ 2 2 e assim por diante, podemos considerar a variável

Y = a 1 X 1 + a 2 X 2 + … + a n X n

A média de Y será

E Y = a 1 μ 1 + a 2   μ 2 + … + a n μ n

Já a variância será

V a r Y = a 1 2 σ 1 2 + a 2 2 σ 2 2 + … + a n 2 σ n 2

No nosso caso, a 1 = a 2 = … = a n = 1 , de modo que

E Y = μ 1 + μ 2 + … + μ n

V a r Y = σ 1 2 + σ 2 2 + … + σ n 2

Observe que isso que eu estou fazendo é totalmente geral, cada uma das variáveis X i pode ter uma média e uma variância diferente. Todavia, nesse caso todas elas possuem a mesma distribuição, de modo que

μ 1 = μ 2 = … = μ n = μ

σ 1 2 = σ 2 2 = … = σ n 2 = σ 2

Logo,

E Y = n μ

V a r Y = n σ 2

Assim, a variável aleatória Y terá uma distribuição normal com média E Y = n μ e variância V a r Y = n σ 2 .

Passo 5

No item (b) também foi pedido a distribuição da variável aleatória Y / n . Podemos escrever ela como

Y = X 1 + X 2 + … + X n n = 1 n X 1 + 1 n X 2 + … + 1 n X n

Com isso, vamos usar a mesma ideia do passo anterior, mas agora com

a 1 = a 2 = … = a n = 1 n

Portanto,

E Y n = 1 n μ 1 + 1 n μ 2 + … 1 n μ n = 1 n μ 1 + μ 2 + … + μ n = 1 n E Y

V a r Y n = 1 n 2 σ 1 2 + 1 n 2 σ 2 2 + … + 1 n 2 σ n 2 = 1 n 2 σ 1 2 + σ 2 2 + … + σ n 2 = 1 n 2 V a r Y

Você poderia ter esses resultados decorados já, mas quis abrir eles aqui para você entender bem de onde eles aparecem!

Usando E Y = n μ e V a r Y = n σ 2 :

E Y n = μ

V a r Y n = σ 2 n

Com isso, vemos que Y / n também é uma variável aleatória com distribuição normal, porém com média E Y n = μ e variância V a r Y n = σ 2 n . Observe que a variância diminui conforme o número de variáveis aumenta.

Terminamos o problema 😊

Resposta

a) Demonstração.

b) Y tem distribuição normal com média n μ e variância n σ 2 , enquanto Y / n também tem distribuição normal, mas com média μ e variância σ 2 / n .

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