Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

Sejam X   e   Y variáveis aleatórias contínuas com função densidade de probabilidade conjunta dada por

f x , y =   1 8 6   -   x   -   y ,   0   ≤   x   ≤   2   e   2   ≤   y   ≤   4

e f x , y = 0 caso contrário. A probabilidade P Y > 3 X = 1 vale:

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade!!!

Como de costume vamos anotar as informações do enunciado.

Sabemos que a distribuição conjunta de X   e   Y é:

f x , y =   1 8 6   -   x   -   y ,   0   ≤   x   ≤   2   e   2   ≤   y   ≤   4

E queremos calcular P Y > 3 X = 1

Passo 2

Para podemos calcular essa probabilidade, precisamos da função de densidade condicional de

Y | X = 1   Vocês lembram como calcula essa densidade? Vamos relembrar!!

Y X = 1     = f y , x = 1 f x x = 1

Ou seja, calculamos a razão entre a conjunta e a marginal de X   para x = 1 .

Vamos começar calculando a marginal de X . Ela é definida como:

f X x   =   ∫ y   f x , y d y

(substituindo a nossa densidade)

= ∫ 2 4 1 8 6   -   x   -   y d y

= 1 8 ∫ 2 4 6   -   x   -   y d y

(resolvendo a integral)

= 1 8 6 y   -   y x   -   y 2 2   ​ y = 2 y = 4

= 1 8 24   -   4 x   -   16 2   - 12   + 2 x   + 4 2

(juntando os termos )

= 1 8 12   - 2 x   - 6

Então f X 1   =   1 2

Isto é, integramos a distribuição conjunta em todos os valores de y  

(no caso discreto ao invés da integral usaríamos o somatório)

Passo 3

Agora precisamos calcular f y , x = 1 . Substituindo na expressão da densidade conjunta

f y , x = 1   =   1 8 5 - y

Então a função de densidade de Y | X = 1   é:

f y , x = 1 f x x = 1   =   1 8 5 - y 1 2

1 4 5 - y

Agora estamos na reta final!!

Passo 4

Passo 5

Finalmente podemos calcular a probabilidade de interesse.

Por definição: P Y > 3 X = 1   =   ∫ 3 4 f y | x = 1 y d y

=   ∫ 3 4 1 4 5 - y d y

=   1 4 ∫ 3 4 5 - y d y

(resolvendo a integral)

=   1 4 5 y - y 2 2 ​ y   =   3 y = 4

=   1 4 20 - 16 2   -   15   +   9 2

(simplificando)

=   1 4 5 - 7 2  

=   3 8

Com isso terminamos mais uma questão de probabilidade. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!

Resposta

  3 8

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