Exercícios Resolvidos de Propriedades do Valor Esperado e da Variância

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Enunciado

Sejam X   e   Y duas variáveis aleatórias com correlação ρ X , Y   =   0 , e a combinação linear

W = X - 2 Y .   Sabendo-se que E X = 10 ,   E X 2 = 120 ,   E Y = 5   e   E Y 2 = 80

A variância de W   é?

Passo 1

Fala pessoal. Tudo certinho? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Nessa questão queremos calcular a variância de W   . Vamos lembrar a definição de variância.

V W   =   E W 2   -   E W 2

Além disso, nos é informado que W = X - 2 Y .     e

E X = 10 ,   E X 2 = 120 ,   E Y = 5   e   E Y 2 = 80

Vale lembrar que V X   -   Y   =   V X   + V Y   -   2 ρ X , Y   ∀ X ,   Y  

Passo 2

Vamos calcular V X   ,   V Y   ,   e     ρ X , 2 Y

V X   =   E X 2   -   E X 2

=   120   -   100  

=   20  

V Y   =   E Y 2   -   E Y 2

= 80   -   25  

= 55  

ρ X , 2 Y   =   2 ρ X , Y

=   0  

Passo 3

Usando os resultados do passo anterior podemos calcular V W

V W   =   V X   -   2 Y

=   V X   + V 2 Y   -   2 ρ X , 2 Y

=   20   + 2 2 ⋅ V Y   -   0  

=   20   + 2 2 ⋅ 55   -   0  

=   240    

Vale lembrar que a correlação de duas variáveis ser zero não implica que elas são independentes.

Mas se elas são independentes sua correlação é zero.

Resposta

=   240    

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