Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 300-8.

Dê equações na forma simétrica da reta perpendicular ao plano 10 x - 2 y + 4 z - 1 = 0 e que contém um diâmetro da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 6 y + z - 11 = 0 .

Passo 1

Queremos determinar as equações simétricas da reta que possui as seguintes características:

  • Perpendicular ao plano 10 x - 2 y + 4 z - 1 = 0
  • Contém um diâmetro da superfície

Bora começar!!!

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Passo 2

Quando estudamos “Retas e Planos” vimos que se uma reta é perpendicular a um plano isso significa que o vetor normal ao plano é paralelo ao vetor diretor da reta, logo, o possível vetor diretor da reta é:

10 x - 2 y + 4 z - 1 = 0   n = ( 10 ,   - 2 ,   4 )

Vetor diretor da reta:

r = n = ( 10 ,   - 2 ,   4 )

Já sabemos o vetor diretor da reta que queremos determinar. Falta acharmos um ponto que pertença à reta.

Passo 3

Para encontrar o ponto que pertence à reta vamos usar a segunda dica: Contém um diâmetro da superfície. Com essa dica, podemos fazer o seguinte desenho:

Com o desenho percebe-se que o centro da esfera pertence à reta. Logo, se encontrarmos as coordenadas de C temos tudo o que precisamos para definir nossa reta.

Completando quadrado, temos:

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 6 y + z - 11 = 0

( x + 1 ) 2 - 1 + y - 3 2 - 9 + z + 1 2 - 1 4 - 11 = 0

( x + 1 ) 2 + y - 3 2 + z + 1 2 = 85 4

Portanto,

C = - 1 ,   3 ,   - 1 2

Com r = ( 10 ,   - 2 ,   4 ) e C = - 1 ,   3 ,   - 1 2 :

x + 1 10 = y - 3 - 2 = z + 1 2 4

Multiplicando por 2 :

x + 1 5 = y - 3 - 1 = z + 1 2 2

Pronto!! Terminamos!!

Resposta

x + 1 5 = y - 3 - 1 = z + 1 2 2

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