Exercícios Resolvidos de Teorema de Weierstrass

Passo 1

Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:

Começamos verificando a continuidade da função f x , y = x y

É uma função polinomial, então é contínua em todo R 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Perceba que:

x + y = 1   ; x ≥ 0   e   y ≥ 0

Compreende a parte do plano cartesiano limitado pelas retas x + y = 1 , x ≥ 0 e y ≥ 0 . Logo, como o conjunto contém a sua fronteira, o conjunto é fechado.

Passo 3

Verificar se o conjunto é limitado. Basta pensar em uma bola com centro em 0,0 e comum raio suficientemente grande como r = 10 0 . Podemos afirmar que o conjunto x + y = 1   ; x ≥ 0   e   y ≥ 0

Se encontra totalmente dentro dessa bola. Logo o conjunto é limitado.

Como as condições do Teorema de Weierstrass foram satisfeitas, podemos afirmar que esse problema tem solução.

Resposta

Sim.

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