Exercícios Resolvidos de Teorema de Weierstrass

Passo 1

Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:

Começamos verificando a continuidade da função f x , y = sen ⁡ ( x 2 + y 2 )

É uma função trigonométrica composta por uma função polinomial, então é contínua em todo R 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Perceba que:

  x 2 + y 2 = 1  

Compreende uma circunferência. Logo, como o conjunto contém a sua fronteira, o conjunto é fechado.

Passo 3

Verificar se o conjunto é limitado. Basta pensar em uma bola com centro em 0,0 e comum raio suficientemente grande como r = 10 . Podemos afirmar que o conjunto   x 2 + y 2 = 1  

Se encontra totalmente dentro dessa bola. Logo o conjunto é limitado.

Como as condições do Teorema de Weierstrass foram satisfeitas, podemos afirmar que esse problema tem solução.

Resposta

Sim

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