Exercícios Resolvidos de Teorema de Weierstrass

Elaboração Própria

Podemos garantir que o problema de minimização da função :

f x , y = e x + y + z

Sujeito as restrições   x 2 + y 2 ≤ 1   ; - 1 ≤ z ≤ 1 , tem solução?

Passo 1

Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:

Começamos verificando a continuidade da função f x , y = e x + y + z

É uma função exponencial, então é contínua em todo R 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Perceba que:

  x 2 + y 2 ≤ 1   ; - 1 ≤ z ≤ 1

Compreende a casca cilíndrica e o interior do cilindro circular. Logo, como o conjunto contém a sua fronteira (casca cilíndrica), o conjunto é fechado.

Passo 3

Verificar se o conjunto é limitado. Basta pensar em uma esfera com centro em 0 , 0,0 e comum raio suficientemente grande como r = 100 . Podemos afirmar que o conjunto   x 2 + y 2 ≤ 1   ; - 1 ≤ z ≤ 1

Se encontra totalmente dentro dessa esfera. Logo o conjunto é limitado.

Como as condições do Teorema de Weierstrass foram satisfeitas, podemos afirmar que esse problema tem solução.

Resposta

Como as condições do Teorema de Weierstrass foram satisfeitas, podemos afirmar que esse problema tem solução.

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