Exercícios Resolvidos de Teorema de Weierstrass

Elaboração Própria

O que podemos afirmar sobre a existência de valores extremos da função

f x , y = - 2 x 2 + y 2

No conjunto D = x 2 + y 2 - 2 x + y - 1 ≤ 1 ?

Passo 1

Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:

Começamos verificando a continuidade da função f x , y = - 2 x 2 + y 2

É uma função composta por funções contínuas (funções polinomiais), e portanto é contínua em todo R 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Podemos reescrevê-lo como sendo:

D = x - 1 2 + y - 1 2 ≤ 1

Que é o interior e a fronteira da circunferência de raio r = 1 e centro em 1 , 1 . Como a região contém a sua fronteira ela é fechada.

Passo 3

Verificar se o conjunto é limitado. Já vimos que a região D é o interior e a fronteira da circunferência de raio r = 1 e centro em 1,1 .

Então, basta imaginar-mos uma círculo com centro em 1,1 e um raio grande, por exemplo, r = 100 para garantir que o conjunto D está totalmente contido nesse conjunto. Logo a região D é limitada.

Como todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas, podemos afirmar a existência de máximos e mínimos globais de f x , y = - 2 x 2 + y 2   no conjunto D = x 2 + y 2 - 2 x + y - 1 ≤ 1 .

Resposta

Podemos afirmar a existência de valores extremos da função f no conjunto D .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas