Exercícios Resolvidos de Teorema de Weierstrass

Passo 1

Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:

Começamos verificando a continuidade da função f x , y , z = x + 2 y + 3 z

É uma função polinomial, então é contínua em todo R 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Perceba que:

x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; z ≤ x 2 + y 2  

A equação z ≤ x 2 + y 2 significa que nosso conjunto é um paraboloide e seu interior ao longo do eixo z .

As equações x ≥ 0   e   y ≥ 0 são planos que fecham dois lados do nosso paraboloide no eixo x e no eixo y .

Desse modo, o paraboloide é fechado por “3 lados”, mas como não temos nenhuma outra restrição para fechá-lo no eixo z (como se fosse uma tampa pro pedaço do paraboloide que temos), nosso conjunto não é fechado.

Assim, podemos parar por aqui e dizer que o problema não tem solução, já que nem todas as condições do teorema foram satisfeitas.

Resposta

Não

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