Exercícios Resolvidos de Teorema de Weierstrass

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Enunciado

(2) Considere f x , y = ( x 2 - x ) y + y 2 2 - 1 2 , definida em todo R 2 . Responda:

d) Se pode aplicar o Teorema dos Valores Extremos e garantir a existência de máximo e mínimo globais para f (em R 2 )?

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nessa questão, nosso objetivo é descobrir se podemos aplicar o Teorema dos Valores Extremos para descobrir se f possui máximos e mínimos globais em R 2 .

Lembra como fazemos isso? 👀

O Teorema dos Valores Extremos nos diz que dada uma função e um intervalo fechado, podemos ter a certeza que existe pontos máximos e mínimos dessa função dentro da região desde que a função seja contínua.

Tranquilo? 😬

Passo 2

Então para aplicarmos o teorema, temos que provar que f é contínuo.

Pra isso vamos determinar seu domínio.

O conjunto domínio de uma função nada mais é do que os possíveis valores que, no caso, x , y podem assumir.

Se a função é dada por

f x , y = x 2 - x y + y 2 2 - 1 2

Temos que verificar se existe alguma restrição para x ou y que faça com que f seja indefinida.

Perceba que não existe nenhuma razão ou função composta dentro de f , então podemos afirmar que x , y pode assumir qualquer valor, ou seja

D o m { f x , y = x , y ∈ R 2

Assim, provamos que f é dontinua em toda R 2 , logo o teorema é aplicável para essa função.

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

É aplicável.

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