Exercícios Resolvidos de Teorema de Weierstrass

Encontre os valores máximos absolutos e mínimos absolutos da função

f x , y = x + y 2

No domínio x - 2 2 + y 2 ≤ 1 .

Indique onde esses valores extremos são atingidos.

Explique por que esses valores extremos devem existir.

Passo 1

Como a gente tem uma região fechada, precisamos achar canditados a pontos de máximo e mínimo tanto dentro da região quanto na fronteira dela, e comparar eles para saber quem dá o maior valor e quem dá o menor valor.

Nossa região é:

x - 2 2 + y 2 ≤ 1

E a nossa função que a gente quer o valor máximo/mínimo é:

f x , y = x + y 2

Vamos lá!

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Passo 2

Para avaliar dentro da nossa região a gente faz aquele rolê de achar os pontos críticos da nossa função. Bora calcular as derivadas parciais:

∂ f ∂ x = 1

∂ f ∂ y = 2 y

Repara que uma delas, a f x , nunca zera. E pontos críticos são pontos onde as duas derivadas zeram ao mesmo termpo. Como uma delas nunca zera. Não temos pontos críticos ☹

Mas já respondendo a pergunta do enunciado, mesmo que a gente não tenha pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo vão existir certamente na fronteira da nossa região. Por que?

Há um teorema que diz que, em uma região fechada e limitada, uma função contínua tem sempre um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto. E se esse valor não acontece dentro da região, com certeza vai acontecer na fronteira dessa região.

O nome desse teorema é teorema do valor extremo. E essa última situação mencionada será o nosso caso, beleza? Isso porque nossa região é fechada e limitada. E nossa função contínua.

Passo 3

Agora a gente vai analisar nossa fronteira. Vamos usar os multiplicadores de Lagrange. Essa é a nossa fronteira:

x - 2 2 + y 2 = 1

Vamos isolar tudo de um lado só e chamar de uma função g :

g x , y = x - 2 2 + y 2 - 1

Aí a gente monta a fórmula:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y ∴ ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = λ ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y

As derivadas parciais de f a gente já tem. Aí vamos calcular as de g :

∂ g ∂ x = 2 ( x - 2 ) ,     ∂ g ∂ y = 2 y

∇ f x , y = λ ∇ g x , y ∴ 1 , 2 y = λ 2 x - 4 , 2 y

Isso dá para gente duas equações:

1 = λ 2 x - 4 ,     2 y = λ 2 y

Passo 4

Agora a gente faz um sisteminha com essas duas equações e a equação da restrição x - 2 2 + y 2 = 1 .

1 = λ 2 x - 4 2 y = λ 2 y x - 2 2 + y 2 = 1

Da segunda equação a gente tem

2 y = 2 y λ

E daí a gente tira dois caminhos, ou y = 0 , ou

2 y = 2 y λ ∴ 1 = λ

Passo 5

- Para y = 0 , segundo a terceira equação, a gente tem

x - 2 2 + 0 2 = 1 ∴ x - 2 = ± 1 ∴ x = ± 1 + 2

x = 3 ,     x = 1

Daí a gente tem os pontos canditados

P 1 = 3,0 ,       P 2 = 1,0

- Para λ = 1 , segundo a primeira equação, a gente tem

1 = 2 x - 4 ∴ x = 5 2

Jogando na terceira equação

5 2 - 2 2 + y 2 = 1 ∴ 1 4 + y 2 = 1 ∴ y = ± 3 2

Aí a gente tem mais dois pontos candidatos:

P 3 = 5 2 , 3 2 ,     P 4 = 5 2 , - 3 2

Passo 6

Agora a gente testa os candidatos na nossa função para ver quem dá o maior e o menor valor:

f x , y = x + y 2

f 3,0 = 3

f 1,0 = 1

f 5 2 , 3 2 = 5 2 + 3 4 = 13 4 = 3,25

f 5 2 , - 3 2 = 5 2 + 3 4 = 13 4 = 3,25

Aí a gente vê que o maior valor (nosso máximo absoluto) ocorre nos pontos 5 2 , ± 3 2 e vale f = 3,25 , e o menor valor (nosso mínimo absoluto) ocorre em 1,0 e vale f = 1 .

Resposta

Máximo absoluto: f 5 2 , ± 3 2 = 3,25

Mínimo absoluto: f 1,0 = 1

Eles devem existir por causa do Teorema do Valor Extremo (ver Passo 2 para mais detalhes)

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