Exercícios Resolvidos de Eventos Independentes & Mutuamente Exclusivos

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Enunciado

Considere um experimento em que um número real R é sorteado do intervalo Ω = [0,1]. A probabilidade do número sorteado cair em um intervalo de comprimento L é L. Sejam os intervalos I a = [0,a] (a ∈ Ω) e I b = [ 1/8, 5/8]. Definem-se as variáveis aleatórias: X a = 1 se R ∈ I a , X a = 0 caso contrário, e analogamente X b = 1 se R ∈ I b , X b = 0 caso contrário.

Dentre as afirmações a seguir, quais são verdadeiras?

a) Pode-se afirmar que ∃a ∈ Ω tal que os eventos I a e I b são independentes.

b) Pode-se afirmar que ∃a ∈ Ω tal que as variáveis aleatórias X a e X b são independentes.

c) A correlação entre X a e X b é sempre nula, qualquer que seja a ∈ Ω.

Passo 1

Fala galera. Essa questão é um pouco grande então vamos aos poucos. Primeiro vamos relembrar a definição de independência.

Dois eventos são ditos independentes se P A ⋂ B = P A P B

Temos que P I A   =   a   ,     P I b   =   1 2

0 se a≤ 1/8

P I A   ⋂   I B = a − 1/8 se 1/8 ≤ a ≤ 5/8 1/2 c.c

Escolhendo a   =   1 4 temos: P I A   ⋂   I B =   1 4   -   1 8 =   1 8   =   P I A P I B

Então ∃a ∈ Ω tal que os eventos e são independentes. Com isso terminamos a letra (a)

Passo 2

Agora vamos para a letra (b). Precisamos calcular as probabilidades de X a   ,   X b .

P X a     =     1   =   a ; P X a     =     0   = 1 -   a

P X b     =     0   = P X b   =   1   =   1 2

Suponha a < 1 8 então P X a   =   1     ⋂     X b   =   1     =   0   ≠   P X a P X b   =   1 4

Logo para a   < 1 8   , X a       e     X b são dependentes.

Passo 3

Vamos verificar agora para outros valores de a .

Suponha 1 8   ≤   a   ≤   5 8 , então P X a   =   1     ⋂     X b   =   1     =   a   -   1 8  

E P X a P X b   =   a 2 Logo para termos chance ter serem independente4s precisamos que

P X a   =   1     ⋂     X b   =   1     =     P X a   =   1 P X b   =   1   ⇒   a   =   1 4

Vamos verificar se X a       e     X b são independentes para esse valor de a  

P X a   =   0     ⋂     X b   =   1     =     5 8   -   1 4   =   3 8   =   P X a   =   0 P X b   =   1  

P X a   =   0     ⋂     X b   =   0     =     3 8   =   P X a   =   0 P X b   =   0  

Logo para a   =   1 4 , X a       e     X b são independentes

Passo 4

Agora só nos resta verificar a letra (c).

Para que a correlação seja nula, precisamos que a covariância seja nula.

C o v X a ,   X b   =   E X a   X b   -     E X a E   X b

E X a E   X b   =   a ⋅ 1 2

  E X a   X b   =   1 ⋅ P X a X b   =   1

Tome a   =   5 8   , então:

  E X a   X b   =   1 ⋅ P X a X b   =   1   =   P X a   =   1 ,   X b   =   1   =   1 2

C o v X a ,   X b   = 1 2   -   5 16   >   0

Logo existe um a   tal que a covariancia é nula

Resposta

  1. e b)

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