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Enunciado

9) Um meliante possui um conjunto grande de chaves especiais para tentar abrir uma porta de uma mansão. A probabilidade de cada chave abrir a porta é 1 / 10 e cada tentativa leva exatamente 2 minutos. Uma viatura passará em exatamente 6,5 minutos após o meliante começar suas tentativas e o prenderá com certeza se o meliante estiver fora da casa, mas com probabilidade 0,1 se este estiver dentro da casa. Qual é o valor mais próximo da probabilidade do meliante ser preso?

a) 0,5

b) 0,65

c) 0,76

d) 0,8

e) 0,72

Passo 1

Faaaaaala galerinha do Responde Aí! Tudo bem com vocês?

Nessa questão temos basicamente um ladrão que precisa acertar a chave de uma mansão antes que a polícia passe e prenda ele. Além disso, mesmo ele estando dentro da casa, ainda existe uma pequena chance de ser preso. O nosso objetivo é calcular a probabilidade desse meliante ser preso.

Esse exercício trabalha uma ideia suuuuper importante da combinatória/probabilidade, que é calcular o conjunto complementar. Em muitas questões acontece da probabilidade pedida ser muito difícil de calcular, mas calcular o caso oposto ser bem mais tranquilo.

Aqui é um exemplo, calcular a probabilidade do meliante ser preso envolve vários casos (ser preso sem entrar na casa, ser preso mesmo entrando na casa) e isso dificulta o cálculo. Porém, a probabilidade do meliante não ser preso é muito mais simples de calcular, e é nela que vamos investir.

Passo 2

Para o meliante não ser preso, ele precisa conseguir entrar na mansão e, além disso, torcer pra polícia não prender ele lá dentro. Então, vamos por partes.

Primeiro bora calcular a probabilidade dele entrar na mansão.

Como o tempo até a polícia passar é de 6,5 minutos e cada tentativa leva aproximadamente 2 minutos, ele só poderá realizar três tentativas. Daí, existem três possibilidades dele conseguir ter sucesso e invadir a casa:

I) Acertar a chave de primeira.

Nesse caso, temos:

P I = 1 10

II) Acertar a chave de segunda.

Nesse caso, ele precisa errar a primeira tentativa (cuja probabilidade é de 9 / 10 ) e acertar a segunda tentativa. Daí:

P I I = 9 10 ⋅ 1 10 = 9 100

III) Acertar a chave na última tentativa.

Aqui ele precisa errar as duas primeiras e acertar apenas a última. Então:

P I I I = 9 10 ⋅ 9 10 ⋅ 1 10 = 81 1000

Massa! Assim, a probabilidade dele conseguir entrar na mansão antes da polícia chegar é de:

P I + P I I + P I I I = 1 10 + 9 100 + 81 1000 = 271 1000

Passo 3

Agora, dado que ele está dentro da mansão, a probabilidade da polícia não prender ele é de:

1 - 1 10 = 9 10

Beleza! Como os dois eventos precisam ocorrer, temos que a probabilidade de liberdade P L vale:

P L = 271 1000 ⋅ 9 10 = 2439 10000

Só que, pelo truque que a gente usou lá no início, a probabilidade de prisão P P vale:

P P = 1 - P L = 1 - 2439 10000 = 7561 10000 ≈ 0,76

Excelente! Esse cara muito provavelmente vai ser preso hahaha. Essa ideia de calcular o caso complementar é muito boa galera, guardem ela! Até mais, gente 😉

Resposta

Letra C: 0,76

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