Exercícios Resolvidos de Eventos Independentes & Mutuamente Exclusivos

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 126-55

(a) Se A, B e C são independentes, prove que A   e   B ∩ C são independentes.

(b) Nas mesmas condições, prove que A ∪ B   e   C   são independentes.

Passo 1

Vamos lá! O que significa dizer que A, B e C são independentes?

Quer dizer que P A ∩ B ∩ C = P A . P B . P ( C )

Pelas propriedades de conjuntos posso dizer que:

A ∩ B ∩ C = ( A ∩ B ∩ C )

Assim,

P A ∩ B ∩ C = P A ∩ B ∩ C

Como B e C são independentes podemos falar que

P B . P C = P ( B ∩ C )

Assim do lado esquerdo da igualdade teremos:

P A ∩ B ∩ C

E do lado direito da igualdade teremos:

P A . P ( B ∩ C )

Assim concluímos que

P A ∩ B ∩ C = P A . P ( B ∩ C )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora queremos mostrar que A ∪ B e C são independentes. Ou seja, queremos mostrar que:

P A ∪ B ∩ C = P A ∪ B . P ( C )

Essa é a nossa hipótese

A ideia agora é desenvolver cada lado da igualdade separadamente e comparar as respostas. Se forem iguais nossa hipótese é verdadeira, se não é falsa. Ok?

Lado esquerdo:

1º passo: Vamos chamar A ∪ B = D ok?

P A ∪ B ∩ C = P ( D ∩ C )

2º passo: Sabemos que:

P D ∪ C = P D + P C - P D ∩ C → P D ∩ C = P D + P C - P ( D ∪ C )

Substituindo teremos:

P D ∩ C = P D + P C - P ( D ∪ C )

3º passo: Voltando com A e B na expressão teremos:

P A ∪ B ∩ C = P A ∪ B + P C - P ( A ∪ B ∪ C )

4º passo: Sabemos pelo 2º passo que podemos escrever P ( A ∪ B ) de outra forma, assim

P A ∪ B ∩ C = P A + P B - P ( A ∩ B ) + P C - P ( A ∪ B ∪ C )

5º passo: Agora vamos olhar para o P ( A ∪ B ∪ C ) ... Lembra que podemos “abrir” ele?

P A ∪ B ∪ C = P A + P B + P C - P ( A ∩ B ) - P ( A ∩ C ) - P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C )

6º passo: Substituindo tudo na expressão e fazendo as contas

P A ∪ B ∩ C = P A + P B - P ( A ∩ B ) + P C -   [ P A + P B + P C - P ( A ∩ B ) - P ( A ∩ C ) - P ( B ∩ C ) + P A ∩ B ∩ C ]

P A ∪ B ∩ C =   P A ∩ C + P B ∩ C - P A ∩ B ∩ C ]

Agora guarda esse resultado e vamos olhar pro lado direito da nossa igualdade!

Lado direito:

1º passo: Podemos “abrir” o P A ∪ B né?

P A ∪ B . P C = P A + P B - P A . P B . P ( C )

2º passo: Fazendo a distribuitiva teremos

P A ∪ B . P C = P A . P C + P B P C - P A . P B . P C

P A ∪ B . P C = P ( A ∩ C ) + P B ∩ C - P ( A ∩ B ∩ C )

Opa! Percebe que chegamos a um resultado igual ao anterior? Ou seja, o resultado o lado direito é IGUAL ao resultado do lado esquerdo, o que significa que a nossa hipótese é verdadeira!

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