Exercícios Resolvidos de Eventos Independentes & Mutuamente Exclusivos

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Enunciado

Teste 1 Sejam   A   e   B   eventos com as seguintes probabilidades P A = 0.7   e   P B = 0.4 . Considere:

a )   P ( A ∪ B ) ≥   0.7    

b )   0.3 ≤     P A   ∩   B c     ≤ 0.6          

c )   0.2 ≤ P ( A ∩ B ) ≤ 0.4  

São verdadeiras apenas as afirmações:

Passo 1

Fala pessoal!!!! Tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade.

Nosso objetivo é verificar quais das afirmações a), b), e c) são verdadeiras.

Mas sabemos que P A = 0.7   e   P B = 0.4

Então Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar pela primeira afirmação, letra a)

A letra a) nos diz que P A ∪ B ≥   0.7     , mas será que é verdade?

O que podemos dizer sobre P A ∪ B ?

Podemos reescrever P A ∪ B como P A ∪ B   =   P A   +   P B   -   P A ∩ B

Com isso temos que

P A ∪ B   =   0.7   +   0.4   -   P A ∩ B

Chegamos em algo próximo a afirmação de que P A ∪ B ≥   0.7     , mas infelizmente não sabemos que é P A ∩ B . Mas podemos obter uma estimativa para P A ∩ B . Para isso vamos utilizar diagrama de Venn.

Então podemos observar que a maior probabilidade possível para a interseção será ocorrerá quando B   ⊂ A   . ou seja quando A ∩ B   =   B     fazendo com que P A ∩ B   ≤   P B   .

Pelo argumento acima conseguimos observar que 0 ≤ P A ∩ B ≤ 0.4   então vamos pegar o maior valor possível para a interseção, isto é

P A ∩ B   =   0.4  

Então teríamos que

P A ∪ B   =   0.7   +   0.4   -   P A ∩ B

(substituindo a intersecção pelo maior valor possível)

P A ∪ B   =   0.7   +   0.4   -   0.4

=   0.7    

Como todos os demais valores possíveis de P A ∩ B são menores que 0.4 . Chegamos à conclusão que

P A ∪ B   ≥   0.7

A primeira afirmação é verdadeira!! Vamos checar a terceira afirmação, pois já fizemos algumas observações sobre P A ∩ B afirmação

Passo 3

A afirmação c) diz que 0.2   ≤   P A   ∩   B   ≤ 0.4 . Como vimos no passo anterior, sabemos que 0.4   é o máximo para essa probabilidade, mas será que 0.2   é o mínimo para essa probabilidade? Vamos descobrir

Sabemos que P A = 0.7   e   P B = 0.4 , logo

P A   +   P B =   1.1

Opaaaa tem alguma coisa estranha, pois sabemos que a probabilidade de um evento não pode ser maior que 1. Isso implica que a intersecção entre A   e   B NÃO pode ser vazia.

Sendo assim, como P A ∪ B   =   P A   +   P B   -   P A ∩ B

Temos que

P A ∪ B   ≤   1

⇒   P A   +   P B   -   P A ∩ B ≤   1

⇒   1.1   -   P A ∩ B ≤   1

⇒     P A ∩ B ≥   0.1

Logo obtemos que 0.1 ≤ P A ∩ B ≤ 0.4  

Então a letra c) não é verdadeira, pois não contem todos os possíveis valores para a intersecção.

Passo 4

Agora só precisamos verificar a firmação b). Queremos saber se é verdade que

0.3   ≤   P A   ∩   B c   ≤ 0.6

Vamos retorna ao nosso amigo, diagrama de Venn, para visualizar melhor quem é A   ∩   B c

Em azul temos o evento A   e em vermelho B c , então a interseção será a região pintada de azul e vermelho simultaneamente.

Ao olhar o diagrama fica mais fácil de ver que P A   ∩   B c     =   P A   -   P B ∩ A . Calculamos a probabilidade de A   e subtraímos da interseção.

Usando o resultado que obtemos no passo anterior, sabemos que 0.1 ≤ P A ∩ B ≤ 0.4   e também temos que P A   =   0.7

Então

(multiplicando por -1)

- 0.1 ≥ - P A ∩ B ≥ - 0.4  

(somando P(A) nas desigualdades)

⇒ - 0.1 + P A ≥ P A - P A ∩ B ≥ P A - 0.4  

⇒ 0.6 ≥ P A - P A ∩ B ≥ 0.3

⇒ 0.6 ≥ P A ∩ B c ≥ 0.3

Resposta

a) e b)

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