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Enunciado

Uma loteria esportiva contém 5   jogos entre 2   times, A i   e   B i ,   i = 1 , … , 5 . Marca-se, para cada jogo, uma das 3   possibilidades (se A i ganhou, perdeu ou empatou com B i ). Assuma que a ganhar/perder/empatar são equiprováveis.

Qual é a probabilidade de se acertar o resultado de exatamente 3   jogos?

Passo 1

Fala galera!!! Tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Como de costume, vamos anotar as informações presentes no enunciado para termos uma melhor compreensão do problema.

A loteria tem 5   jogos entre dois times A i   e   B i .

A probabilidade de A i ganhar/perder/empatar são iguais.

Queremos a probabilidade de acertar o resultado de exatamente 3   jogos.

Passo 2

Bem antes de calcularmos a probabilidade de acertar o resultado de 3 jogos. Vamos descobrir qual é a probabilidade de acertar o resultado de um jogo. Mas como fazemos isso?

Vamos chamar de P C i a probabiliade de acertar o resultado do jogo i  

E P E i a de errar.

Bem, o jogo tem três possíveis resultados ganhar/perder/empatar todos equiprováveis. Então a chance de acertar o jogo é a chance de escolher um desses resultados. Como todos são equiprováveis, a probabilidade de acertar será de 1 3 .

E a probabilidade de errar o resultado? Como calculamos?

Como P C i é a probabilidade de acertar, a probabilidade de errar será seu complementar. Então

P E i   =   1 - P C i

=   2 / 3  

Passo 3

Bem, agora que sabemos a probabilidade de acertamos o resultado de um jogo qualquer e a de errar. Como usamos isso para calcular a probabilidade de acertar exatamente 3 jogos?

Bem, vamos supor que acertamos os três primeiros jogos e erramos os demais. (poderíamos supor qualquer ordenação de ganhar ou perder. Desde que tenham 3 acertos e 2 erros). Com que probabilidade isso ocorre?

Como os resultados dos jogos são independentes, essa prob será:

P acertar   somente   3   primeiros   jogos = 1 3 ⋅ 1 3 ⋅ 1 3 ⋅ 2 3 ⋅ 2 3

= 1 3 3 ⋅ 2 3 2

Mas não paramos por aí, pois o problema é que podemos acertar somente os 3   primeiros, os três últimos, entre outras COMBINAÇÕES de 3 jogos em 5 . Então a pergunta agora é: De quantas formas podemos acertar três jogos em 5 ?

Mas essa pergunta é fácil, né? Esse número será a combinação de 5 escolhe 3 que é:

5 ! 2 ! 3 !

Então temos 5 ! 2 ! 3 ! formas diferentes de apostar em três jogos para ganhar.

Passo 4

No passo anterior calculamos a probabilidade de acertamos os três primeiros jogos. E descobrimos que tem 5 ! 2 ! 3 ! formas distintas de escolher três jogos para apostar o resultado. Então a probabilidade de acertarmos exatamente três jogos e cinco é:

5 ! 2 ! 3 ! ⋅ 1 3 3 2 3 2

= 5 ⋅ 4 2 ! ⋅ 4 3 5

= 4 0 243

Com isso terminamos mais uma questão de probabilidade. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!! 😊

Resposta

4 0 243

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