Exercícios Resolvidos de Aproximação por Diferencial

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Enunciado

A altura e o raio de um cilindro reto são iguais, de modo que o volume desse cilindro é dado por V = π h 3 . O volume deve ser calculado com erro não maior que 1 % em relação ao valor real. Determine aproximadamente o maior erro que pode ser tolerado na medida de h , expressando-o como porcentagem de h .

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tudo belezinha?

A questão quer saber qual o maior erro tolerado em h para que o erro relativo seja 1 % .

Temos que o percentual de erro do volume é

∆ V V = 0,01

Devemos encontrar o diferencial de   V , ou seja, derivar a função

V = π h 3

d V d h = 3 π h 2

Isolando d V

d V = 3 π h 2 d h

Passo 2

Pela aproximação por diferencial, temos que

∆ V ≅ d V e ∆ h ≅ d h

Substituindo

∆ V = 3 π h 2 ∆ h

Como

∆ V V = 0,01

Podemos chegar à conclusão que

∆ V = 0,01 V = 0,01 ( π h 3 )

∆ V = 3 π h 2 ∆ h

Passo 3

Isolando ∆ h , temos

∆ h = ∆ V 3 π h 2 = 0,01 ( π h 3 ) 3 π h 2 = 0,01 h 3

Logo,

∆ h = 1 3 %

Prontinho! Até mais!

Resposta

∆ h = 1 3 %

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