Exercícios Resolvidos de Aproximação por Diferencial

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Enunciado

Calcule por diferencial o valor aproximado, de:

(a) 35,99

(b) 1 3,09

(c) cos ⁡ π 3 1 / 3

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tudo certinho?

A questão quer que encontremos a equação da reta que melhor aproxima do gráfico da função dada e utilize essa reta para obter um valor aproximado, certo?

O que acontece é que a reta tangente é a reta que melhor aproxima a função do ponto. Observe isso na função abaixo.

A aproximação linear é feita pela seguinte fórmula:

f x 0 ≅ f ' x 0 x - x 0 + f x 0                   ( I )

Passo 2

Letra (a): 35,99

Vamos calcular a derivada da função. No caso da letra (a), temos a função raiz quadrada.

f ' x = x ' = x 1 / 2 ' = 1 2 x - 0,5

Substituindo em ( I ) :

f 35 ≅ 1 2 ( 35 ) - 0,5 x - 35 + 35                  

Substituindo x = 35,99 :

f 35 ≅ 1 2 ( 35 ) - 0,5 35,99 - 35 + 35                  

Calculando

f 35 ≅ 5,99975                  

Passo 3

Letra (b): 1 3,09

Vamos calcular a derivada da função. No caso da letra (b), temos a função raiz quadrada.

f ' x = x ' = 1

Substituindo em ( I ) :

f 1 3 ≅ 1 x - 1 3 + 1 3                  

Substituindo x = 1 3,09 :

f 1 3 ≅ 1 1 3,09 - 1 3 + 1 3                  

Calculando

f 1 3 ≅ 0,32362                  

Passo 4

Letra (c): cos ⁡ π 3 1 / 3

Vamos calcular a derivada da função. No caso da letra (c), temos a função raiz quadrada.

f ' x = cos ⁡ x 1 / 3 ' = - 1 3 s e n ⁡ x - 2 / 3

Substituindo em ( I ) :

f ' π 3 = - 1 3 sen ⁡ x - 2 3 x - 1 + cos ⁡ 1 1 / 3

Substituindo x = π 3 :

f ' π 3 = - 1 3 sen ⁡ x - 2 3 π 3 - 1 + cos ⁡ 1 1 / 3

Calculando

f π 3 ≅ 0,79682

Prontinho! Até mais!

Resposta

(a) 5,99975

(b) 0,32362

(c) 0,79682

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