Exercícios Resolvidos de Aproximação por Diferencial

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Enunciado

Considere f x = e a x c o s ⁡ ( b x ) . Sabe-se que, para x = 0 , d f = 5 d x e d f ' = 16 d x . Determina a e b.

Passo 1

Primeiramente, fica calmo!!! Vai dar tudo certo hahaha

Bem, como temos a nossa função f ( x ) , conseguimos encontrar a diferencia d f e a derivada dessa diferencial, que nada mais é do que como se fosse uma derivada segunda, beleza?

E através disso, vamos ver o que vai acontecer (spoiler nos próximos passos).

Passo 2

Sabemos que f x = e a x c o s ⁡ ( b x )

Aplicando nossa regra do produto, teremos:

d f = a e a x cos ⁡ b x - b e a x x s e n b x d x  

Aplicando para x = 0 , temos

d f = a e 0 cos ⁡ 0 - 0 d x = 5 d x

Opa, temos então:

a d x = 5 d x

Logo,

a = 5

Passo 3

Agora, bora aplicar a derivada no diferencial d f que encontramos:

d f ' = { a 2 e a x cos ⁡ b x - b e a x a s e n b x + s e n b x + b x c o s b x e a x ]   }   d x

Para x = 0

d f ' = a 2 - b d x

d f ' = 25 - b d x = 16 d x

25 - b = 16

b = 25 - 16

b = 9

∆ V = 0,3   c m 2

Resposta

a = 5

b = 9

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