Exercícios Resolvidos de Aproximação por Diferencial

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume I, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, pg 231 exercício 57 – Modificado

Uma barra de metal medindo 15   c m de comprimento e 5   c m de diâmetro está coberta, exceto nas pontas, por uma camada de isolante com uma espessura de 0,1   c m . Use Diferenciais para estimar o volume do isolante. Calcule também o volume do isolante de forma exata, e compare os resultados do valor real com a aproximação.

Passo 1

Bem, vamos começar entendendo o problema, temos uma barra de metal, que está revestida por um pequeno isolante.

Temos duas formas de fazer isso, podemos calcular na mão, que seria fazer o volume total com o isolante menos o volume total sem o isolante, e a outra forma seria fazer a aproximação, imaginando que esse volume do isolante nada mais é que a variação do volume quando o raio vai de 2,5   c m para 2,6   c m .

O problema pede os dois, mas calculando a aproximação que foi o que a questão pediu primeiro:

O volume desse cilindro vai ser

V = π h r 2

O h é fixo, então podemos mudar logo o seu valor

V = 15 π r 2

Lembra da teoria que podemos relacionar Δ V com d V ? A diferencial do volume em relação ao raio vai ser

d V d r = 30 π r

Passando o d r para direita,

d V = 30 π r d r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que:

Δ V ≅ d V = 30 π r d r

Agora temos que achar o d r . Como vimos na teoria, vamos ter:

Δ r ≅ d r

E:

Δ r = 0,1

Agora que temos d r , podemos achar d V , lembrando que o raio dessa fórmula, vai ser o raio inicial, como já vimos nos outros exercícios. Então:

r = 2,5   c m

E substituindo no valor da fórmula no fim do passo 2 , temos:

Δ V ≅ 30 π ∙ 2,5 ∙ 0,1

Δ V ≅ 7,5 π

Passo 3

Agora vamos fazer a conta real:

Δ V = V c o m   i s o l a n t e - V s e m   i s o l a n t e

Assim:

Δ V = π h r f 2 - π h r 0 2

Vamos ter:

Δ V = π 15 2 , 6 2 - π 15 2,5 2

Δ V = 101,4 π - 93,75 π

Δ V = 7,6 5 π

Passo 4

Comparando a aproximação com o cálculo real:

Δ V r e a l = 7,65 π ;   Δ V a p r o x ≅ 7,5 π

Comparando os valores, podemos ver que eles são beeem próximos, o erro calculado nessa aproximação é bem pequeno.

Porém, como a gente quer as coisas o mais próximo possível do valor real, evitamos o cálculo por aproximação quando o cálculo real é possível. Afinal, você vai querer que aquele prédio que você assinou fique de pé.

Resposta

Δ V r e a l = 7,65 π ;   Δ V a p r o x ≅ 7,5 π

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