Exercícios Resolvidos de Aproximação por Diferencial

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Enunciado

Uma escada com 12   m está apoiada em uma parede e faz um ângulo θ com o chão. Se o topo da escada está a uma altura de h na parede, expresse h em termos de θ e, então, use d h para estimar a variação em h se θ variar de 60 ° a 59 ° .

Passo 1

Bem, ele quer estimar a variação de h , para isso, devemos relacionar h e θ e calcular os diferenciais. A situação é que nem a da figura aqui embaixo:

Como temos um triângulo retângulo, podemos fazer

sen ⁡ θ = h E s c a d a

Assim

h = 12 sen ⁡ θ

Agora vamos achar a diferencial,

d h d θ = 12 cos ⁡ θ

Agora passamos aquele d θ para direita

d h = 12 cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Beleza, já sabemos o diferencial, o que falta agora é saber o ângulo θ e d θ , lembrando que sempre que trabalhamos com ângulos eles precisam estar em radianos.

Repara que o θ começa em 60 ° , então esse vai ser o nosso valor de θ , ele vai funcionar como o ponto de referência como vimos antes. Nessas situações de diferencial, vamos considerar sempre o inicial como o ponto central, beleza?

Agora falta achar d θ , mas lembra da teoria? Nós fazemos a seguinte aproximação:

Δ θ ≅ d θ

E esse Δ θ ele deu no enunciado, que vai ser:

d θ = Δ θ = 59 ° - 60 °

d θ = - 1 °

Agora temos que passar esses caras todos para radianos:

60 ° = 60 π 180 = π 3

1 ° = 1 π 180 = π 180

Passo 3

Agora vamos achar d h com tudo que já calculamos antes:

d h = 12 cos ⁡ θ d θ

Então:

d h = 12 cos ⁡ π 3 ∙ - π 180

d h = - 12 1 2 ∙ π 180

d h = - 12 π 360

d h = - π 30   m

Assim, com a nossa aproximação, vamos ter:

Δ h = - π 30   m

Resposta

Δ h = - π 30   m

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