Exercícios Resolvidos de Aproximação por Diferencial

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Enunciado

Sejam a, b ∈   R , a > 0 e b ≪ a   (isto é, | b | muito menor que a). Usando diferenciais, mostre que:

a 2 + b ≈ a + b 2 a

Passo 1

A diferencial de uma função y = f ( x ) é dada sempre por d y = f ' x d x

Vamos chamar a 2 + b de x , ou seja, teremos uma função do tipo:

f x = x

Derivando, temos que:

f ' x = 1 2 x

Passo 2

Pela equação de linearização temos que:

L x = f x + f ' a b

L x = x + 1 2 x   b

Lembrando que x = a 2 + b e que bem módulo é muito menor que a, podemos reescrever que:

L x = a 2 + 1 2 a 2   b

L x = a + b 2 a

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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18. Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais. x + 1 = x 2 - x
Um cubo de aço com 1 cm de lado é coberto com 0,01 cm de cobre. Use diferenciais para estimar o volume de cobre na cobertura. [sugestão: seha ∆ V a variação no volume do cubo).
Use a diferencial d y para aproximar ∆ y de acordo com as mudanças de x. y = x x 2 + 1 ; d ex = 2p a r ax = 1 , 9 6
a) Seja y = 1 x . Encontre d ye∆ y em x=1, sendo d x = ∆ x = - 0,5 . b) Esboce o gráfico de y = 1 x , mostrando dy e ∆ y na figura.
Calcule a diferencial.y = (x)/(x + 1)