Exercícios Resolvidos de Aproximação por Diferencial

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Enunciado

Utilize diferenciais para estimar o valor de 10 . Qual foi o erro nesta estimativa?

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão pede para estimarmos o valor de 10

Puxa, vida e agora? Como achar isso?

Quando você se deparar com uma questão assim, respira! A primeira coisa que você precisa pensar é em uma função que se pareça com o que você quer calcular, como no nosso caso

y = x

E depois? Depois usar diferenciais! Ou seja, a derivada! Vamos relacionar o diferencial

d y d x

Com as variações, lembrando que

Δ y ≅ d y

Δ x ≅ d x

Com isso vamos poder encontrar Δ y = y x ⏝ q u e r e m o s   - y x 0 ⏝ t e m o s !

E aproximando para um ponto próximo que conhecemos o valor exato!

No nosso caso o valor mais próximo que conhecemos é 9 = 3

Então é isso, a ideia é aplicar esses conceitos de diferenciais para descobrir quando vale 10 . E depois ainda podemos achar o erro!

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é a seguinte

y = x

Derivando temos

d y d x = 1 2 x

E isolando d y

d y = d x 2 x

Beleza? Nosso ponto de referência é x = 9 , é o mais próximo daquele que ele pede e sabemos o resultado, então vamos usar para descobrir uma relação entre d y e d x !

d y = d x 2 4 = d x 4

d y = d x 4

Passo 3

Precisamos lembrar agora que na teoria de diferenciais Δ y ≅ d y e que Δ x ≅ d x . Assim vamos começar achando d x porque sabemos o x inicial e o x final dessa variação

d x ≅ 10 - 9 = 1

E com o d x , podemos agora achar d y ! Do passo anterior

d y = d x 4

d y = 1 4

E agora? Agora vamos achar Δ y !

Δ y ≅ d y

y 10 - y 9 ≅ 1 4

Mas y 9 = 9 = 3 , daí

y 10 - 3 = 1 4

y 10 = 1 4 + 3 = 3,25

Passo 4

E por fim o problema pede que calculemos o erro na estimativa! O erro relativo percentual pode ser calculado através de

E = d y y × 100 % = 1 / 4 3,25   × 100 % = 7,69 %  

Ufa! Terminamos! Partiu treinar mais?

Resposta

10 ≅ 3,25

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18. Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais. x + 1 = x 2 - x
Um cubo de aço com 1 cm de lado é coberto com 0,01 cm de cobre. Use diferenciais para estimar o volume de cobre na cobertura. [sugestão: seha ∆ V a variação no volume do cubo).
Use a diferencial d y para aproximar ∆ y de acordo com as mudanças de x. y = x x 2 + 1 ; d ex = 2p a r ax = 1 , 9 6
a) Seja y = 1 x . Encontre d ye∆ y em x=1, sendo d x = ∆ x = - 0,5 . b) Esboce o gráfico de y = 1 x , mostrando dy e ∆ y na figura.
Calcule a diferencial.y = (x)/(x + 1)