Exercícios Resolvidos de Aproximação por Diferencial

Ver Teoria

Enunciado

Uma esfera de madeira de 20   c m de diâmetro é envernizada, ficando 0,5   c m mais espessa. Use Diferenciais para estimar o volume da camada de verniz. Calcule também o volume do verniz de forma exata, e compare os resultados do valor real com a aproximação.

Passo 1

Bem, vamos começar entendendo o problema, temos uma esfera de madeira envernizada. Porque alguém enverniza uma esfera de madeira eu já não sei.

Temos duas formas de fazer isso, podemos calcular na mão, que seria fazer o volume total com o verniz menos o volume total sem o verniz, e a outra forma seria fazer a aproximação, imaginando que esse volume do verniz nada mais é que a variação do volume quando o raio vai de 10 c m   c m para 10,5   c m (a questão dá o diâmetro)

O problema pede os dois, mas calculando a aproximação que foi o que a questão pediu primeiro:

O volume da esfera vai ser

V = 4 3 π r 3

Lembra da teoria que podemos relacionar Δ V com d V ? A diferencial do volume em relação ao raio vai ser

d V d r = 4 π r 2

Passando o d r para direita,

d V = 4 π r 2 d r

Passo 2

Agora temos que:

Δ V ≅ d V = 4 π r 2 d r

Agora temos que achar o d r . Como vimos na teoria, vamos ter:

Δ r ≅ d r

E:

Δ r = 0 , 5

Agora que temos d r , podemos achar d V , lembrando que o raio dessa fórmula, vai ser o raio inicial, como já vimos nos outros exercícios. Então:

r = 10   c m

E substituindo no valor da fórmula no fim do passo 2 , temos:

Δ V ≅ 4 π ∙ 10 2 ∙ 0,5

Δ V ≅ 200 π

Passo 3

Agora vamos fazer a conta real:

Δ V = V c o m   v e r n i z - V s e m   v e r n i z

Assim:

Δ V = 4 3 π r f 3 - 4 3 π r 0 3

Vamos ter:

Δ V = 4 3 π r f 3 - r 0 3

Δ V = 4 3 π 10,5 3 - 10 3

Δ V = 4 3 π 157,625

Δ V ≅ 210,167   π

Passo 4

Comparando a aproximação com o cálculo real:

Δ V r e a l = 210,167   π ;   Δ V a p r o x ≅ 200   π

Comparando os valores, podemos ver que eles são próximos, o erro calculado nessa aproximação é pequeno.

Porém, como a gente quer as coisas o mais próximo possível do valor real, evitamos o cálculo por aproximação quando o cálculo real é possível. Afinal, você vai querer que aquele prédio que você assinou fique de pé. Não é um prédio nesse caso mas a ideia é a mesma ;)

Resposta

Δ V r e a l = 210,167   π ;   Δ V a p r o x ≅ 200   π

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a diferencial. y = x x + 1
Calcule a diferencial. y = x 2 - 2 x
Seja V = 4 3 π r 3 . r > 0 .a) Calcule a diferencial.b) Interprete geometricamente d V .(Lembre-se que V é o volume da esfera de raio r e que 4 π r 2 é a área da superfície esfé...
Nos exercícios de 25 a 30, x e y são funções de uma terceira variável. Calcule d y d x , encontrando o diferencial termo a termo (veja o Exemplo 3). 3 t g 2 x + 4 sec 2 ⁡ y = 1