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Exercícios Resolvidos de Condução de Calor

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Enunciado

Um bloco de gelo de massa m inicialmente a 0 ° C está a uma distância D   de uma fonte de calor mantida a uma temperatura constante T q , onde T q   >   0 ° C (ver figura abaixo). Entre o gelo e a fonte de calor, existe uma material cuja condutividade térmica é K e cuja área transversal é A . Considere que o condutor tem baixa capacidade térmica, de forma que podemos desprezar o calor necessário para aquecê-lo. Sendo o calor de fusão da água L F e o calor específico da água C a , faça o que é pedido abaixo. Demonstre seus resultados de forma clara e organizada, deixando sua resposta apenas em função dos parâmetros definidos no enunciado (ou seja, não substitua os valores).

a)Ache uma expressão para o tempo necessário para que todo o gelo derreta e se torne água a 0 ° C .

b)Determine quanto tempo leva para que a água a 0 ° C seja aquecida até uma temperatura T f , onde 0 ° C   <   T f   <   T q .[Dica: Note que a diferença de temperatura entre as extremidades do condutor deixará de ser constante. Use d Q   =   m c   d T e realize uma integral.]

Passo 1

a):

Bom, existe uma potência relacionada a esse condutor, certo? Se um lado possui uma temperatura T q , o outro possui uma temperatura 0 ° C , já que está em contato com o gelo:

P = k A T q - 0 D = k A T q D

O calor transferido em um intervalo de tempo ∆ t será:

Q = P ∆ t = k A T q D ∆ t

Passo 2

Esse calor precisa ser igual ao que? Precisa ser igual ao calor necessário pra derreter o gelo!!!!

E esse calor é dado por:

Q d e r r e t e r g e l o = m L F

Assim:

Q = Q d e r r e t e r g e l o

k A T q D ∆ t = m L F → ∆ t = D m L F k A T q

Passo 3

b)

Agora o cnário muda: Não temos mais uma temperatura constante, como no exemplo anterior. Pelo contrário, agora a temperatura varia de acordo com o calor que a água recebe.

Quanto maior a temperatura, mais T se aproxima de T q e menor é a potência transferida, certo? Show de bola. Vamos, então, definir o calor infinitesimal trocado:

d Q = m C a d T

Além disso, como no exemplo anterior, esse calor é igual ao calor fornecido pela fonte de potência:

d Q = k A T q - T D d t

Perceba que ao invés de usarmos ∆ t usamos d t . Além disso, veja que T é uma variável. Assim:

m C a d T = k A T q - T D d t

m C a d T = - k A T - T q D d t

Passo 4

Manipulando a expressão:

d T T - T q = - k A D m C a d t

Integrando os dois lados, e considerando T 0 e t 0 como temperatura e tempo inicial:

ln ⁡ T f - T q T 0 - T q = - k A D m C a t - t 0

Usando T 0 = 0 :

ln ⁡ T f - T q 0 - T q = ln ⁡ T f - T q T q = ln ⁡ T q T f - T q - 1 = - ln ⁡ T q T f - T q

Assim:

- ln ⁡ T q T f - T q = - k A D m C a t - t 0

∴  

t - t 0 = D m C a k A ln ⁡ T q T f - T q

Chamando t - t 0 = ∆ t :

∆ t = D m C a k A ln ⁡ T q T f - T q

Resposta

  1. ∆ t = D m L F k A T q
  2. ∆ t = D m C a k A ln ⁡ T q T f - T q

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