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Exercícios Resolvidos de Condução de Calor

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Enunciado

Dois cilindros de metal de mesma seção reta de área A, com coeficientes de condutividade térmica k 1   e   k 2 , e comprimentos l 1   e   l 2 estão unidos por uma de suas extremidades. A extremidade livre do cilindro com k 1 é mantida a temperatura T 1 , já a do outro cilindro é

mantida a temperatura T 2 . No regime estacionário, quando o fluxo de calor é independente da posição ao longo dos cilindros, qual é a temperatura T 0 na junção dos cilindros e a quantidade de calor Q que atravessa a barra num intervalo de tempo ∆ t ?

  1. T 0 = l 1 k 2 T 2 + l 2 k 1 T 1 l 1 k 2 + l 2 k 1 , Q = k 1 A T 0 - T 1 Δ t l 1
  2. T 0 = ( l 1 k 1 T 1 + l 2 k 2 T 2 ) ( l 1 k 1 + l 2 k 2 ) , Q = k 2 A T 2 - T 0 Δ t l 2
  3. T 0 = T 2 + T 1 2 , Q = k 2 A T 2 - T 0 Δ t l 2
  4. T 0 = ( l 1 k 1 T 1 + l 2 k 2 T 2 ) ( l 1 k 1 + l 2 k 2 ) , Q = k 2 A T 2 - T 0 Δ t l 2
  5. T 0 = T 2 + T 1 2 , Q = k 1 A T 0 - T 1 Δ t l 1
  6. T 0 = k 2 T 2 + k 1 T 1 ( 2 k 1 + 2 k 2 ) , Q = k 2 A T 2 - T 0 Δ t l 2

Passo 1

Como temos dois metais unidos por uma extremidade, estamos tratando de uma associação em série de condutores, como na figura abaixo.

Usando a fórmula da taxa de condução de calor:

H = k A Δ T L

Podemos descobrir quanto calor flui no sistema, pois

H = Q Δ t

Pelo princípio de conservação de energia, todo o calor que entra por um dos metais, tem que sair pelo outro metal. Ou seja,

H = H 1 = H 2

Se usarmos a igualdade acima podemos descobrir qual a temperatura no ponto de encontro dos metais ( T 0 ).

Passo 2

O calor que flui no sistema pode ser escrito em função do metal 1 ou do metal 2.

O metal 1 está entre as temperaturas T 1 e T 0 :

Q 1 = k 1 A T 0 - T 1 l 1 Δ t

O metal 2 está entre as temperaturas T 2 e T 0 :

Q 2 = k 2 A T 2 - T 0 l 2 Δ t

Ou seja, o calor em todas as alternativas estão corretas. Não conseguimos excluir nenhuma ainda. :(

Mas não desanime!

Passo 3

Pela conservação de energia,

Q 1 = Q 2

k 1 A T 0 - T 1 l 1 Δ t = k 2 A T 2 - T 0 l 2 Δ t

Cortando e rearranjando,

k 1 T 0 - T 1 l 2 = k 2 T 2 - T 0 l 1

Considerando arbitrariamente que T 2 > T 0 > T 1 , (se você considerar o contrário também dá certo!),

k 1 l 2 T 0 - k 1 l 2 T 1 = k 2 l 1 T 2 - k 2 l 1 T 0

T 0 k 1 l 2 + k 2 l 1 = k 2 l 1 T 2 + k 1 l 2 T 1

T 0 = l 1 k 2 T 2 + l 2 k 1 T 1 l 1 k 2 + l 2 k 1  

Resposta

  1. T 0 = l 1 k 2 T 2 + l 2 k 1 T 1 l 1 k 2 + l 2 k 1 , Q = k 1 A T 0 - T 1 Δ t l 1

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