Exercícios Resolvidos de Domínio de Funções de 3 Variáveis

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Enunciado

Considere a função f x , y = x 2 + x y .

  1. Determine o domínio de f .
  2. Calcule as derivadas parciais de 1a. e 2a. ordem de f .
  3. Determine os pontos do domínio de f onde a função é diferenciável. Justifique.
  4. Determine o plano que é paralelo ao plano z   =   2 x   +   3 y e tangente ao gráfico de f .

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Seguinte... na letra (a) a gente pode ver que f é uma função polinomial. Assim, podemos concluir que seu domínio é todo o R 2 .

Passo 2

Na letra (b), a gente pode verificar que a derivada de primeira ordem é dada por:

∂ f ∂ x x , y = 2 x + y

∂ f d y x , y = x

E as derivadas de segunda ordem são dadas por:

∂ 2 f ∂ x 2 x , y = 2

∂ 2 f ∂ y 2 x , y = 0

∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x x , y = 1

Passo 3

Na letra (c), podemos dizer que como as derivadas parciais existem e são contínuas em todo o domínio, então podemos concluir que a função é diferenciável em todo o domínio.

Passo 4

Na letra (d), pela equação que nos foi dada, podemos dizer que o vetor normal ao plano é dado por:

n = ( 2,3 , 1 )

Lembrando que a equação do plano tangente ao gráfico da função f é dada por:

z - f x 0 ,   y 0 = ∂ f ∂ x x 0 ,   y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 ,   y 0 ( y - y 0 )

E, como os planos devem ser paralelos, então terão o mesmo vetor normal. Assim, temos o seguinte sistema:

2 x 0 + y 0 = 2 x 0 = 3

Resolvendo o sistema, temos que x 0 = 3 e y 0 = - 4 .

Assim, temos que:

f x 0 ,   y 0 = 3 2 + 3 ∙ - 4 = - 3

Dessa forma, substituindo os valores encontrados na equação da reta tangente, temos:

z + 3 = 2 x - 3 + 3 ( y + 4 )

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

  1. Seu domínio é todo o R 2 .
  2. ∂ f ∂ x x , y = 2 x + y

    ∂ f d y x , y = x

    ∂ 2 f ∂ x 2 x , y = 2

    ∂ 2 f ∂ y 2 x , y = 0

    ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x x , y = 1

  3. função é diferenciável em todo o domínio.
  4. z + 3 = 2 x - 3 + 3 ( y + 4 )

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