Exercícios Resolvidos de Domínio de Funções de 3 Variáveis

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Enunciado

Encontre o domínio e a imagem da função f e trace um esboço mostrando uma região sombreada em R 2 , como um conjunto de pontos no domínio de f .

d )   f x , y = x 2 - y 2 x - y

Passo 1

Oi galerinha, tudo bem?

Nessa questão estamos trabalhando com as queridíssimas funções de duas variáveis.

Recebemos a função:

f x , y = x 2 - y 2 x - y

E, precisamos calcular o seu domínio e a sua imagem.

Vocês lembram o que é o domínio e o que é a imagem?

É legal pensar numa analogia da função como sendo uma liquidificador. O domínio é o conjunto de todos os ingredientes que você pode colocar dentro do liquidificador (não dá pra colocar tudo, algumas coisas quebraria o aparelho, certo?).

Já a imagem é o que o liquidificador produz após bater todos aqueles ingredientes, sacaram?

Então, nossa ideia é primeiro verificar as possíveis restrições na nossa lei de função f ( x , y ) para encontrar o domínio de f .

Em seguida, vemos os possíveis valores que esse dom��nio pode nos dar em f .

Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊

Passo 2

Bom, analisando a nossa função:

f x , y = x 2 - y 2 x - y

Como trata-se de uma fração, a única restrição acontece quando o denominador é nulo.

Assim, devemos ter:

x - y ≠ 0

x ≠ y

Daí, podemos escrever o nosso domínio como sendo:

D f = x , y ∈ R 2     x ≠ y }

Podemos esboçar essa região no R 2 como sendo:

onde todo o plano R 2 pertence ao domínio de f , exceto pela reta azul ( x = y ) .

Muito bom!

Passo 3

Já para a imagem, podemos usar a diferença de quadrados para simplificar um pouco a nossa expressão:

x 2 - y 2 = x + y ( x - y )

Substituindo esse produto notável na expressão da função, temos:

f x , y = x 2 - y 2 x - y

= x + y x - y x - y

Portanto:

f x , y = x + y

Essa expressão é muito boa, pois como x e y são variáveis que englobam praticamente todos os pontos do plano R 2 , temos que x + y pode assumir qualquer valor real.

Assim, temos que:

I m f ∈ R

Prontinho gente, é isso aí 😊

Resposta

D f = x , y ∈ R 2     x ≠ y }

I m f ∈ R

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