Exercícios Resolvidos de Domínio de Funções de 3 Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Para as funções f cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso f não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:

d) f x ,   y ,   z = x y - z 2 x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função que ele nos deu é limitada em seu domínio. Tá, mas o que é uma função limitada mesmo?

Uma função é dita limitada, em seu domínio, quando sua imagem está contida em um intervalo, ou seja, I m f ⊂ [ a ,   b ] , onde a ,   b ∈ R . Também podemos definir uma função limitada quando existe um valor finito M tal que f ( x ,   y ,   z ) ≤ M para qualquer valor de x ,   y e z .

Então, vamos analisar nossa função com base nessa definição. Se não for possível encontrar esse valor M que limita nossa função, o enunciado pediu pra gente verificar onde a função é crescente ou decrescente definindo alguns pontos arbitrários.

Vamos lá!

Passo 2

Pra determinar se a função f x ,   y ,   z = x y - z 2 x 2 + y 2 + z 2 é limitada, precisamos examinar o comportamento da função quando x ,   y e z se aproximam do infinito. Então vamos calcular:

lim x ,  y ,  z → ∞ ⁡ x y - z 2 x 2 + y 2 + z 2

Pra avaliar esse limite, vamos considerar que cada variável se aproxima do infinito independentemente. Assim, em cada caso, nós simplificamos a função dividindo numerador e denominador pela maior potência da variável considerada. Por exemplo, quando x se aproxima de infinito, nós dividimos numerador e denominador por x 2 :

lim x → ∞ ⁡ y x - z 2 x 2 1 + y 2 x 2 + z 2 x 2

Dessa forma, é como se as outras variáveis fossem constantes e como x → ∞ , o valor de y / x e z / x é zero. E nós ficamos com:

lim x → ∞ ⁡ y x - z 2 x 2 1 + y 2 x 2 + z 2 x 2 = 0

Analogamente, quando y e z se aproximam do infinito, nós obtemos 0 como resultado. Portanto, quando x ,   y ,   z → ∞ , teremos:

lim x ,  y ,  z → ∞ ⁡ x y - z 2 x 2 + y 2 + z 2 = 0

E assim, podemos dizer que nossa função é limitada, porque existe um valor M ( = 0 ) quando ( x ,   y ,   z ) tendem a infinito.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

É   l i m i t a d a

Exercícios de Livros Relacionados

Em que pontos ( x ,y ,z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas? h x ,y ,z = 4 - x 2 - y 2 - z 2 h x ,y ,z = 1 4 - x 2 + y 2 + z 2 - 9
Em que pontos ( x ,y ,z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas? f x ,y ,z = ln ⁡ x y z f x ,y ,z = e x + y cos ⁡ z
Em que pontos ( x ,y ,z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas? h x ,y ,z = 1 y + z h x ,y ,z = 1 x y + z
Em que pontos ( x ,y ,z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas? h x ,y ,z = x y sin ⁡ 1 z h x ,y ,z = 1 x 2 + z 2 - 1
Em que pontos ( x ,y ,z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas? h x ,y ,z = ln ⁡ z - x 2 - y 2 - 1 h x ,y ,z = 1 z - x 2 + y 2