Exercícios Resolvidos de Domínio de Funções de 3 Variáveis

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Enunciado

Para as funções f cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso f não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:

l) f x ,   y = x 4 x 2 + y 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função que ele nos deu é limitada em seu domínio. Tá, mas o que é uma função limitada mesmo?

Uma função é dita limitada, em seu domínio, quando sua imagem está contida em um intervalo, ou seja, I m f ⊂ [ a ,   b ] , onde a ,   b ∈ R . Também podemos definir uma função limitada quando existe um valor finito M tal que f ( x ,   y ) ≤ M para qualquer valor de x e y .

Então, vamos analisar nossa função com base nessa definição. Se não for possível encontrar esse valor M que limita nossa função, ou esse intervalo [ a ,   b ] , o enunciado pediu pra gente verificar onde a função é crescente ou decrescente definindo alguns pontos arbitrários.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x ,   y = x 4 x 2 + y 4

Repare que por ser uma potência de expoente par, x 4 é sempre maior ou igual a zero. Além disso, ele vai ser sempre menor do que x 2 + y 4 (porque estamos somando outra potência a essa). Traduzindo isso matematicamente, temos:

0 ≤ x 4 ≤ x 2 + y 4

Dividindo todo mundo por x 2 + y 4 :

0 x 2 + y 4 ≤ x 4 x 2 + y 4 ≤ x 2 + y 4 x 2 + y 4

0 ≤ x 4 x 2 + y 4 ≤ 1

Então, nossa função é de fato limitada, no intervalo [ 0 ,   1 ] .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   f u n ç ã o   é   l i m i t a d a   e m   [ 0 ,   1 ]

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