Exercícios Resolvidos de Domínio de Funções de 3 Variáveis

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Enunciado

Para as funções f cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso f não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:

h) f x ,   y = x 4 y 4 x 8 + y 8

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função que ele nos deu é limitada em seu domínio. Tá, mas o que é uma função limitada mesmo?

Uma função é dita limitada, em seu domínio, quando sua imagem está contida em um intervalo, ou seja, I m f ⊂ [ a ,   b ] , onde a ,   b ∈ R . Também podemos definir uma função limitada quando existe um valor finito M tal que f ( x ,   y ) ≤ M para qualquer valor de x e y .

Então, vamos analisar nossa função com base nessa definição. Se não for possível encontrar esse valor M que limita nossa função, o enunciado pediu pra gente verificar onde a função é crescente ou decrescente definindo alguns pontos arbitrários.

Vamos lá!

Passo 2

Pra determinar se a função f x ,   y = x 4 y 4 x 8 + y 8 é limitada, precisamos examinar o comportamento da função quando x e y se aproximam do infinito. Então vamos calcular:

lim x ,  y → ∞ ⁡ x 4 y 4 x 8 + y 8

Pra avaliar esse limite, vamos considerar que cada variável se aproxima do infinito independentemente. Assim, em cada caso, nós simplificamos a função dividindo numerador e denominador pela maior potência da variável considerada. Por exemplo, quando x se aproxima de infinito, nós dividimos numerador e denominador por x 8 :

lim x → ∞ ⁡ y 4 x 4 1 + y 8 x 8

Dessa forma, é como se a outra variável fosse constante e como x → ∞ , o valor de y / x é zero. E nós ficamos com:

lim x → ∞ ⁡ y 4 x 4 1 + y 8 x 8 = 0

Analogamente, quando y se aproxima do infinito, nós obtemos 0 como resultado. Portanto, quando x ,   y → ∞ , teremos:

lim x ,  y → ∞ ⁡ x 4 y 4 x 8 + y 8 = 0

E assim, podemos dizer que nossa função é limitada, porque existe um valor M ( = 0 ) quando ( x ,   y ,   z ) tendem a infinito.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   f u n ç ã o   é   l i m i t a d a  

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