Exercícios Resolvidos de Domínio de Funções de 3 Variáveis

CEFET-RJ, Lista 1 prof. Thomé, exercício 6e

Determine e faça o esboço do domínio da função:

f x , y , z = ln ⁡ 16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2

Passo 1

A questão é de domínio? Então vamos começar procurando pelas restrições! No nosso caso, aparentemente, não temos nenhuma a não ser o fato que o argumento da função logarítmo deve sempre ser maior que 0 .

Assim, não função:

f x , y , z = ln ⁡ 16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2

temos que o argumento

16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2 > 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só trabalhar em cima da expressão encontrada, e ver que curva ela representa:

16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2 > 0

logo,

x 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

Passo 3

Percebe que a inequação é muito parecida com a equação de um elipsóide?

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

E encontramos

x 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

Ou seja, nosso a = 2 , b = 2 e c = 4 ! E o sinal de “menor que” tem apenas a função de nos dizer que a função existe apenas para pontos dentro do elipsóide. Por exemplo, se pegarmos um ponto que esteja fora dele, acharemos um valor maior do que 1 , o que torna a inequação falsa!

Passo 4

Legal, temos o nosso domínio, agora, como esboçá-lo? Temos que anular uma das variáveis e encontrar a curva no plano formado pelas outras duas. Por exemplo, anulando a variável x , ou seja, fazendo x = 0 , teremos:

0 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

y 2 4 + z 2 16 < 1

Que representa uma elipse no plano y z , com seu interior preenchido (pelo sinal de “menor que”)

Passo 5

Agora, fazendo o mesmo para y , tornando-o 0 , temos a curva projetada no plano x z :

x 2 4 + 0 2 4 + z 2 16 < 1

x 2 4 + z 2 16 < 1

Perceba que é uma outra elipse, exatamente como a primeira, mas em outro plano!

Passo 6

Finalmente, anulando a variável z , encontramos

x 2 4 + y 2 4 + 0 2 16 < 1

x 2 4 + y 2 4 < 1

Que é a equação de uma circunferência no plano x y , pois os denominadores de x e y possuem o mesmo valor!

Passo 7

Juntando as curvas com interior preenchido que encontramos, temos como esboçar o elipsóide! Basta desenhar cada umas dessas curvas em seus respectivos plano, e depois completar com as linhas que formariam o sólido

Resposta

O domínio é todo o interior do elipsoide x 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas