Exercícios Resolvidos de Domínio de Funções de 3 Variáveis

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Enunciado

7. Para as funções f cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso f não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:

(b) f x , y = x x 2 + y 2

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Basicamente foi dada a função f x , y = x x 2 + y 2 e o que temos que fazer é determinar se existe limitações no seu domínio e em quais ocasiões a função é crescente e decrescente...

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O domínio da função nada mais é do que os possíveis valores que suas variáveis podem receber.

Já com relação a inclinação da função, podemos analisar o comportamento da função para diferentes valores do seu domínio ou a partir dos pontos críticos da função.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

A função do problema é dada por

f x , y = x x 2 + y 2

Como nossa função se trata de uma fração, sabemos que para uma fração existir seu denominador tem que ser diferente de 0 , ou seja, x 2 + y 2 ≠ 0 .

Como x e y estão elevados ao quadrado, não há problemas caso x ou y sejam menores que 0 .

Portanto o domínio de f é dado por

D o m f x , y = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≠ 0

Dessa forma, como o denominador é sempre maior que 0 , se x > 0 a função é positiva e se x < 0 a função é negativa...

Quando x e y tendem a vemos que f tende a 1 2 , portanto, f é crescente quando x < 0 e decrescente quando x > 0 .

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

D o m f x , y = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≠ 0

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