Exercícios Resolvidos de Domínio de Funções de 3 Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

A função F r ,   θ ,   z = r   c o s   θ ,   r   s e n   θ , z fornece a mudança de vari��veis para coordenadas cilíndricas de eixo z . As coordenadas ( r ,   θ ,   z ) são determinadas a partir do fato de que cada ponto x ,   y ,   z ∈ R 3 pertence ao cilindro de eixo z e raio igual a r = x 2 + y 2 = distância do ponto x ,   y ,   z até o eixo z , sendo θ o ângulo que o segmento da origem até x ,   y ,   0 faz com o semieixo positivo x no plano x y .

  1. Determine os pontos ( r ,   θ ,   z ) em torno dos quais é possível inverter a função F .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos os pontos ( r ,   θ ,   z ) em torno dos quais é possível inverter a função F .

Para podermos prosseguir, temos que lembrar do Teorema da Função Inversa, que é dito o seguinte:

“Se temos uma função vetorial F que possui derivada F ' e se sua derivada no ponto X 0 , isto é, F ' X 0 tem inversa. Então podemos garantir que ali perto de X 0 a função F também tem inversa e que essa inversa é diferenciável ”.

Além do mais, a derivada da inversa no ponto Y 0 = F X 0 é o inverso da derivada de F no ponto X 0 .

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

Passo 2

Bom... De acordo com o Teorema da Função Inversa, caso J F r ,   θ ,   z ≠ 0 , é garantida a existência da função inversa F - 1 em torno de quaisquer pontos r ,   θ ,   z .

Sendo assim, como J F r ,   θ ,   z = r , F - 1 está garantido para qualquer caso desde que r ≠ 0 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

r ,   θ ,   z com r ≠ 0

Exercícios de Livros Relacionados

Em que pontos ( x ,y ,z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas? h x ,y ,z = 4 - x 2 - y 2 - z 2 h x ,y ,z = 1 4 - x 2 + y 2 + z 2 - 9
Em que pontos ( x ,y ,z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas? f x ,y ,z = ln ⁡ x y z f x ,y ,z = e x + y cos ⁡ z
Em que pontos ( x ,y ,z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas? h x ,y ,z = 1 y + z h x ,y ,z = 1 x y + z
Em que pontos ( x ,y ,z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas? h x ,y ,z = x y sin ⁡ 1 z h x ,y ,z = 1 x 2 + z 2 - 1
Em que pontos ( x ,y ,z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas? h x ,y ,z = ln ⁡ z - x 2 - y 2 - 1 h x ,y ,z = 1 z - x 2 + y 2