Exercícios Resolvidos de Domínio de Funções de 3 Variáveis

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Enunciado

Para as funções f cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso f não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:

e) f x ,   y ,   z = cos ⁡ x y z 9 x - y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função que ele nos deu é limitada em seu domínio. Tá, mas o que é uma função limitada mesmo?

Uma função é dita limitada, em seu domínio, quando sua imagem está contida em um intervalo, ou seja, I m f ⊂ [ a ,   b ] , onde a ,   b ∈ R . Também podemos definir uma função limitada quando existe um valor finito M tal que f ( x ,   y ,   z ) ≤ M para qualquer valor de x ,   y e z .

Então, vamos analisar nossa função com base nessa definição. Se não for possível encontrar esse valor M que limita nossa função, o enunciado pediu pra gente verificar onde a função é crescente ou decrescente definindo alguns pontos arbitrários.

Vamos lá!

Passo 2

Pra determinar se a função f x ,   y ,   z = cos ⁡ x y z 9 x - y é limitada, precisamos examinar o comportamento da função e como x ,   y e z variam. Primeiro, vamos examinar o denominador:

x - y

Pra que essa função do denominador seja definida, precisamos que o valor dentro da raíz seja maior ou igual a zero. Assim:

x - y ≥ 0 → x - y ≥ 0

x ≥ y

Agora vamos considerar o numerador x y z 9 . Como x   y , e z variam, o valor de x y z 9 pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal de x ,   y   e z .

Além disso, a função cos ⁡ ( θ ) é limitada entre - 1 e 1 para qualquer valor de θ . Sendo assim, podemos concluir que a função f x ,   y ,   z = cos ⁡ x y z 9 x - y é limitada, desde que x ≥ y .

Para x < y , teríamos zero no denominador e nossa função estaria definida. Então, podemos afirmar que f ( x ,   y ,   z ) é limitada.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

É   l i m i t a d a

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