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Exercícios Resolvidos de Energia Interna de um gás e Calores Específicos Molares

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Enunciado

Uma certa quantidade de um gás ideal monoatômico (n moles) está inicialmente à temperatura T 1 . Lentamente, sua pressão e seu volume aumentam até dobrarem de valor, de modo que o sistema percorre uma reta no diagrama P × V . Um aluno calculou um calor específico molar para este processo e o chamou de C X . Indique o ordenamento correto quando o valor de C X é comparado com C V e C P :

(a) C V < C X < C P

(b) C X < C V < C P

(c) C V < C P < C X

(d) C P < C X < C V

(e) C P < C V < C X

Passo 1

Vamos lá! Temos algo assim:

O calor específico molar é o calor específico dividido pelo numero de mols, ok?

Nesse processo, temos

Q 1,2 = n C X Δ T

Não sabemos nem o Q 1,2 e nem Δ T .

Vamos encontrar primeiro a variação da temperatura.

Como é um gás ideal, podemos usar a relação:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2

Com P 2 = 2 P 1 e V 2 = 2 V 1

Então

T 2 = T 1 2 P 1 2 V 1 P 1 V 1

T 2 = 4 T 1

Beleza. Então

Δ T = 4 T 1 - T 1 = 3 T 1

Ok!

Agora, vamos pensar em como achar a quantidade de calor trocada entre 1 e 2.

Para isso, vamos imaginar outro caminho. Um isovolumétrico e outro isobárico.

Vamos lá.

A primeira parte do caminho azul é uma isobárica, então:

Q 1 = n C p Δ T  

E entre esse processo, temos uma variação na temperatura de:

P 1 V 1 T 1 = P 1 2 V 1 T a

T a = 2 T 1

Então

Q 1 = n C p 2 T 1 - T 1

Q 1 = n 5 2 R T 1

Beleza, agora vamos para a segunda parte do caminho azul, a isovolumétrica:

Q 2 = n C V Δ T

A variação de temperatura entre esses pontos será

4 T 1 - T a = 2 T 1

Então

Q 2 = n C V Δ T

Q 2 = n C V 2 T 1

Q 2 = n 3 2 R 2 T 1

Então o calor necessário para ir de 1 até 2 foi:

Q T = Q 1 + Q 2

Q T = n 5 2 R T 1 + n 3 2 R 2 T 1

Q T = 11 2 n R T 1

Então para o C X , temos que a mesma quantidade de calor será usada para ter essa mesma variação de temperatura.

Q 1,2 = n C X Δ T

Q 1,2 = n C X ( 4 T 1 - T 1 )

11 2 n R T 1 = n C X 3 T 1

C X = 1,83 R

Como, C V = 3 2 R = 1,5 R e C P = 5 2 R = 2,5 R , temos que

C V < C X < C P

Resposta

Letra a)

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