Exercícios Resolvidos de Energia Interna de um gás e Calores Específicos Molares

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Enunciado

Um gás ideal é levado do estado A ao estado B pelo processo mostrado no diagrama PV abaixo. Qual das respostas abaixo mais se aproxima do valor da quantidade de calor absorvida pelo gás no processo.

  1. zero
  2. 10 4   J
  3. 2,4 × 10 4   J
  4. 6 × 10 4   J
  5. Não é possível determinar porque o número de mols n não foi dado.

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Sabe qual é o primeiro bizu que eu vou te dar nesse problema aqui e que não foi dito no enunciado de propósito? Em termodinâmica, três variáveis são super interligadas. Você sabe quais são? Elas são pressão, volume e temperatura. Note que esse gráfico aí deu pra gente a variação de pressão com o volume, certo?

Opa, então tá faltando uma daquelas variáveis que eu te disse antes, e, qual é? Temperatura.

Quando isso acontecer, essa variável que está faltando é a variável que ficou CONSTANTE durante todo esse processo de variação no gráfico.

Em outras palavras, para uma curva em um gráfico PV de um gás ideal, a temperatura foi mantida constante, ou seja, um processo ISOTÉRMICO!!!

Tá, mas e onde tá a quantidade de calor absorvida nesse rolê todo aí? Bem, qual é a equação na termodinâmica que consegue nos dá a quantidade de calor?

Δ U = Q + W

Onde Δ U ,   Q   e   W são a variação da energia interna, quantida de calor e trabalho, respectivamente.

Agora que já vimos a equação que vai nos dar a variável de interesse, precisamos ver como obter o valor de Δ U e W .

VEM COMIGOOOOOOOOO!!!

Passo 2

Para um gás ideal, é observado que a energia interna é dependente unicamente da temperatura.

U = U T

Se aplicarmos a diferenciação nessa equação teremos:

d u = ∂ U ∂ T d T

Integrando, temos:

Δ U = ∫ T 1 T 2 C V d T  

Ou seja, claramente observamos que se T 2 = T 1 teremos que Δ U = 0 !! E nossa, esse é exatamente nosso caso, afinal, estamos falando de um processo ISOTÉRMICO!!

Passo 3

Beleza, agora que vimos Δ U = 0 , precisamos calcular o trabalho.

W = - ∫ P d V

Mas tá, observe que temos uma integral com a pressão! Que coisa, né... qual pressão eu vou ter que escolher? Do ponto A ou B?

NENHUM DOS DOIS!!! A gente vai precisar fazer uma manipulação pra sumir com essa pressão e colocar ela em função do volume.

Então fica aí a dica: toda vez que você precisar calcular trabalho e tiver um processo variando pressão, você vai precisar escrever esse cara em função do volume.

Para um gás ideal:

P V = n R T

Vamos considerar 1 mol dessa gás, beleza?

P = R T V

Substituindo dentro da integral, teremos:

W = - ∫ R T V d V

Agora pra ficar mais organizadinho, vamos para o próximo passo desenvolver essa integral.

Passo 4

Sabemos pelo gráfico que o volume varia de 0,2   m ³ até 0,3   m ³ . Assim nossos limites de integração ficam:

W = - ∫ V A = 0,2 V B = 0,3 R T V d V

Como R e T são constantes, podemos tirar da integral:

W = - R T ∫ V A V B d V V

W = - R T ln ⁡ V B V A

A gente sabe qual é a temperatura que esse processo foi feito? Não!!! Então de novo pela lei dos gases ideias temos:

P V = n R T → T = P V R

W = - P V ln ⁡ V B V A

Passo 5

Como queremos saber quanto foi absorvido de calor, precisamos avaliar a partir da condição inicial, certo? Logo, podemos escrever:

W = - P i V i ln ⁡ V B V A

Substituindo os valores:

W = - 3 × 10 5 × 0,2 ln ⁡ 0,3 0,2 = - 2,4 × 10 4   J

Note que tem um sinal de menos ali né? Isso só quer dizer que esse calor foi jogado pra fora, mas em termos numéricos, se quiséssemos fazer o gás voltar do estado B pro A, ele precisaria absorver exatamente essa mesma quantidade, só que com sinal positivo.

Resposta

(C)

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