Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

( b ) Resolva o problema de valor inicial

y ' - 5 y = - 5 2 x y 3 ,       y 0 = 1

Passo 1

( b ) Bom, temos uma equação de Bernoulli agora. Consegue reconhecer a forma dela?

y ' + P x y = Q x y α

Neste caso, P x = - 5 , Q x = - 5 2 x e α = 3 .

Vamos começar assim: dividindo todo mundo por y 3 .

y ' - 5 y = - 5 2 x y 3

y ' y 3 - 5 y 2 = - 5 2 x

y ' y - 3 - 5 y - 2 = - 5 2 x

Passo 2

Agora, vamos fazer a substituição de variáveis u = y 1 - α = y 1 - 3 = y - 2 . Neste caso teremos que u ' = d u d x = d u d y d y d x = - 2 y - 3 y ' .

Vamos substituir os termos y - 2 e y - 3 y ' :

y - 2 = u

y - 3 y ' = - 1 2 u '

Logo, teremos:

- 1 2 u ' - 5 u = - 5 2 x

u ' + 10 u = 5 x

Passo 3

Esta já é uma equação de 1ª ordem. Então, após algumas manipulação chegamos na seguinte solução:

u x = 1 2 x - 1 20 + C e - 10 x

Beleza, mas lembra que fizemos u = y - 2 ? Então fica assim:

y - 2 = 1 2 x - 1 20 + C e - 10 x

y 2 = 1 1 2 x - 1 20 + C e - 10 x

y x = ± 1 1 2 x - 1 20 + C e - 10 x

Passo 4

Finalmente, vamos adicionar a condição inicial y 0 = 1 :

y 0 = 1 - 1 20 + C = 1

- 1 20 + C = 1 2 = 1

C = 1 + 1 20 = 21 20

Logo:

y ( x ) = 1 1 2 x - 1 20 + 21 20 e - 10 x

Resposta

  ( b ) y ( x ) = 1 1 2 x - 1 20 + 21 20 e - 10 x

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