Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

Ver Teoria

Enunciado

Encontre todas as soluções da EDO: 2 1 - x 2 y ' - 1 - x 2 y = x y 3 e - x

Passo 1

Vamos começar isolando a derivada y ' . Para isso, dividimos tudo por 2 1 - x 2 :

y ' - 1 2 y = x e - x 2 1 - x 2 ⋅ y 3

Assim, temos uma equação na forma

y ' + P x y = Q x y α  

Com α = 3 ≠ 0 ≠ 1 . Sabe o que isso significa? Temos uma equação de Bernoulli! Como temos uma equação dessa, podemos seguir um passo a passo maroto e resolver o problema.

Passo 2

Ok, começamos dividindo toda a equação por y α = y 3 :

1 y 3 y ' - 1 2 y 2 = x e - x 2 1 - x 2

Passo 3

Agora fazemos a substituição de variáveis: u = y 1 - α = y 1 - 3 = y - 2

Para substituir essa definição, derivamos e relacionamos com y ' : u ' = y - 2 ' = - 2 y - 3 y ' = - 2 y 3 y ' = - 2 1 y 3 y '

Agora podemos fazer a substituição na EDO:

- 2 1 y 3 y ' = u ' ⟹ 1 y 3 y ' = - 1 2 u '

u = y - 2 = 1 y 2 ⟹ - 1 2 y 2 = - 1 2 u

Portanto, temos: 1 y 3 y ' - 1 2 y 2 = x e - x 2 1 - x 2

- 1 2 u ' - 1 2 u = x e - x 2 1 - x 2

Passo 4

Multiplicando tudo por - 2 para deixar u ' sozinho:

u ' + u = - x e - x 1 - x 2

Ou seja, temos uma equação na forma: u ' + A x u = B x

Sendo:

A x = 1 B x = - x e - x 1 - x 2

Que é uma equação linear! Essa EDO terá solução na forma:

u x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

Sendo I x o fator integrante dado por:

I x = e ∫ A x d x

Passo 5

Beleza, vamos então calcular o fator integrante I x . Começamos com a integral que está lá na exponencial:

∫ A x d x = ∫ 1 d x = x

Deixamos assim sem a constante, porque ela já vai aparecer na solução final. Show, agora vamos para o fator integrante propriamente dito:

I x = e ∫ A x d x = e x

Passo 6

O fator integrante já foi, vamos agora para a integral: ∫ I x B x d x = - ∫ e x ⋅ x e - x 1 - x 2 d x = - ∫ x 1 - x 2 d x

Temos aqui uma função 1 - x 2 e sua derivada a menos de uma constante aparecendo ali x , então podemos usar método da substituição simples aqui:

w = 1 - x 2

d w = - 2 x d x ⟹ - d w 2 = x d x

- ∫ x 1 - x 2 d x = 1 2 ∫ d w w = 1 2 ln ⁡ w = 1 2 ln ⁡ 1 - x 2

Passo 7

Logo, a solução vai ser:

u x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

u x = 1 e x 1 2 ln ⁡ 1 - x 2 + C

Achamos u x , mas o problema quer saber y , então voltamos para a variável anterior:

u = y - 2

y 2 = 2 e x ln ⁡ 1 - x 2 + 2 C

E podemos deixar a solução assim mesmo, na forma implícita. 😊

Resposta

y 2 = 2 e x ln ⁡ 1 - x 2 + 2 C

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a solução completa de cos ⁡ x d y d x + y 2 = y s e n x Usando a solução de bernoulli 1 1 - nd u d x + P x u = Q x Sendo u= y 1 - n Com x no intervalo [ - π 2 , π 2 ]
Ache a solução completa de e x 2 d y d x + 2 x e x 2 y = x y ³ ³Usando a solução de bernoulli 1 1 - nd u d x + P x u = Q x Sendo u= y 1 - n
Em cada um dos problemas de 28 a 31, é dada uma equação de Bernoulli. Em cada caso, resolva-ausando a substituição mencionada no Problema 27(b)29 .y '=r y–k y 2 ,r0ek0 . Essa equação é importante em d
Em cada um dos problemas de 28 a 31, é dada uma equação de Bernoulli. Em cada caso, resolva-ausando a substituição mencionada no Problema 27(b)31 . d y d t=( Γc o s t+T ) y–y 3 , na qual Γ e T são con
Em cada um dos problemas de 28 a 31, é dada uma equação de Bernoulli. Em cada caso, resolva-ausando a substituição mencionada no Problema 27(b)30. y '=∊ y–σ y 3 ,∊0eσ0 ∊ ∊ . Essa equação aparece no es