Exercícios Resolvidos de Equação de Bernoulli

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Enunciado

Resolve o seguinte problema de valor inicial:

t y ' - 3 y = t 2 y 5 2 ,     y 1 = 1

Passo 1

Sempre que tiver uma cara de y elevado a algum expoente do outro lado você já fica de olho aberto pra ver se é uma edo de bernoulli, pra ficar com a cara vamos dividir por t :

y ' - 3 t y = t y 5 2

Opa, reconheceu que é uma EDO de bernoulli?! Agora vamos usar o método para resolver uma edo desse tipo! Dividir tudo por y 5 / 2 :

y - 5 2 y ' - 3 t y 1 - 5 2 = t

Arrumando:

y - 5 2 y ' - 3 t y - 3 2 = t

Fazendo a substituição

u = y - 3 2 → u ' = - 3 2 y - 5 2 y '

Dessa segunda podemos ajeitar ela assim

- 2 3 u ' = y - 5 2 y '

Substituindo:

- 2 3 u ' - 3 t u = t

Dividindo tudo por - 2 / 3 :

u ' + 9 2 t u = - 3 t 2

Uma edo linear de primeira ordem!

Passo 2

Agora é só resolver essa EDO:

I x = e ∫ 9 2 t d t = e 9 2 ln ⁡ t = e ln ⁡ t 9 2 = t 9 2 ,       t > 0

Calculamos

∫ I t B t d t = ∫ t 9 2 - 3 t 2 d t = - 3 2 ∫ t 11 2 d t = - 3 2 . 2 13 t 13 2 = - 3 13 t 13 2

Por fim a resposta de u ( t ) é:

u t = t - 9 2 - 3 13 t 13 2 + C  

Passo 3

Não esquece de voltar!!! Sabemos que u = y - 3 / 2 , substituindo esse paranauê:

y t - 3 2 = t - 9 2 - 3 13 t 13 2 + C = - 3 13 t 2 + C t - 9 2

y t - 3 2 = - 3 13 t 2 + C t - 9 2

Passo 4

Não esquece da condição de contorno que ele deu! y 1 = 1 !

Substituindo:

y 1 - 3 2 = - 3 13 + C → - 3 13 + C = 1 - 3 2 → C = 1 + 3 13 = 16 13

Assim ficou a resposta:

y t - 3 2 = - 3 13 t 2 + 16 13 t - 9 2

Finish!

Resposta

y t - 3 2 = - 3 13 t 2 + 16 13 t - 9 2

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